Ensino Superior ⇒ Princípio da Inclusão e Exclusão

[Loreto]

De quantas maneiras podemos distribuir 6 maçãs, 7 laranjas e 8 peras em três caixas diferentes de modo que cada caixa receba pelo menos uma fruta de cada tipo ?

Resposta

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3.150

[paulo testoni]

Hola.

Nenhuma das 3 urnas pode ficar vazia, devem ter pelo menos 1 bola cada.

Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 = 6
C6-1, 3-1= C5,3 = 10

Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 = 7
C7-1, 3-1 = C6,2 = 15

Peras: c_1 + c_2 + c_3 = 8
C8-1, 3-1 = C7,2 = 21

Total = 10*15*21 = 10*315 = 3.150

[Loreto]

Obrigado, mas preciso da resolução usando o PIE (Princípio da Inclusão e Exclusão).
Abraço

[paulo testoni]

Hola,

Distribuir de uma vez os três tipos de frutas existentes é um processo muito complicado e trabalhoso. Para solucionar o problema vou dividir os três grupos de frutas e utilizar o conhecimento de combinações com repetição (combinações completas).

Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 = 6 ==> CR6,3 = C6+3-1,6 = C8,6 = 28

Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 = 7 ==> CR7,3 = C7+3-1,7 = C9,7 = 36

Peras: c_1 + c_2 + c_3 = 8 ===> CR8,3 = C8+3-1,8 = C10,8 = 45

Total: 28*36*45 = 45.320

Na contagem anterior estão todos os casos possíveis de distribuir as frutas nas caixas, inclusive os casos da restrição, ou seja, em que há: exatamente uma caixa vazia; exatamente duas caixas vazias. Para calcular o número de casos em que há caixa(s) vazia(s) vou utilizar o método de contagem conhecido como Princípio da Inclusão-Exclusão.

Da mesma forma como procedido anteriormente, é viável dividir os três grupos de frutas.

Fixando uma caixa vazia. Forma de escolher uma caixa entre as três disponíveis: C 3, 1 = 3.

Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 = 6 ==> CR6,2 = C6+2-1,6 = C7,6 = 7

Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 = 7 ==> CR7,2 = C7+2-1,7 = C8,7 = 8

Peras: c_1 + c_2 + c_3 = 8 ===> CR8,2 = C8+2-1,8 = C9,8 = 9

subtotal: 3*7*8*9 = 1.512

Fixando duas caixas vazias. Forma de escolher duas caixas entre as três disponíveis: C 3, 2 = 3.

Maçãs: c_1 + c_2 + c_3 = 6 ==> CR6,1 = C6+1-1,6 = C6,6 = 1

Laranjas: c_1 + c_2 + c_3 = 7 ==> CR7,1 = C7+1-1,7 = C7,7 =1

Peras: c_1 + c_2 + c_3 = 8 ===> CR8,1 = C8+1-1,8 = C8,8 = 1

subtotal: 3*1*1*1 = 3

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão temos que a resposta para a pergunta do problema é: 45.320 - 1.512 - 3 = 43.805. ? O gabarito não está correto?

[Loreto]

Olá, Paulo Testoni !!
Eu visualizei essa resolução de um outro problema parecido com o meu em um outro fórum também, mas justamente a resposta não bate, também não compreendi. Mas creio que o gabarito do livro esteja correto, porque como você, eu também cheguei nos 3.150 como resposta usando apenas Combinação com Repetição. Obrigado por se propor em me ajudar !! =D