Ensino Superior

carlosa · Mensagem não lida por **carlosa** » 10 Jun 2014, 22:52

y^2=4x e 2x - y=4

Neste caso encontrei a ponto de intercessão como sendo (4,-2), porém na figura os pontos são diferentes.
A resposta é 9, que não encontrei.

Mensagem não lidapor **candre** » 29 Jun 2014, 17:50 · Mensagem não lida por **candre** » 29 Jun 2014, 17:50

temos $y^2=4x$ e $2x-y=4$ , tendo:
$y^2=4x\Rightarrow{\color{red}y=\pm2\sqrt{x}}$
e
$2x-y=4\Rightarrow{\color{blue}y=2x-4}$
criando a figura:

: figura; imz.png (9.67 KiB) Exibido 593 vezes

achando as intersecçoes:
$\begin{cases}y=\pm2\sqrt{x}\\y=2x-4\end{cases}\Rightarrow \pm2\sqrt{x}=2x-4\Rightarrow\pm\sqrt{x}=x-2\Rightarrow x=x^2-4x+4\\ x^2-5x+4=0\\ \triangle=25-16=9\\ x=\frac{5\pm3}{2}\\ x_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1\\ x_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4\\ x=1,y=-2\Rightarrow B=(1,-2)\\ x=4,y=4\Rightarrow A=(4,4)$
tendo o ponto, podemos dividir a área em duas partes, de $x\in[0|1]$ a figura e limitada por $2\sqrt{x}$ e $-2\sqrt{x}$ e de $x\in[1|4]$ a figura e limitada por $2\sqrt{x}$ e $2x-4$ , podendo calcular a área por integral dupla através do volume da função [tex3]p(x,y)=1[/tex3] na região da figura, ou por integral simples, de qualquer maneira temos:
$A= {\color{blue}\int_0^{1}\int_{-2\sqrt{x}}^{+2\sqrt{x}}dydx+\int_{1}^{4}\int_{2x-4}^{+2\sqrt{x}}dydx=}\\ \int_0^1(+2\sqrt{x})-(-2\sqrt{x})dx+\int_1^4(+2\sqrt{x})-(2x-4)dx=\\ \int_0^12\sqrt{x}+2\sqrt{x}dx+\int_1^42\sqrt{x}-2x+4dx=\\ 4\int_0^1\sqrt{x}dx+\int_1^42\sqrt{x}-2x+4dx=\\ \left(4\int_0^1x^{\frac{1}{2}}dx\right)+\left(2\int_1^4x^{\frac{1}{2}}dx-2\int_1^4xdx+4\int_1^4dx\right)=\\ \left(4\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg|_0^1\right)+\left(2\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg|_1^4 -2\frac{x^2}{2}\bigg|_1^4+4x\bigg|_1^4\right)=\\ \left(4\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\bigg|_0^1\right)+\left(2\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\bigg|_1^4 -\cancel{2}\frac{x^2}{\cancel{2}}\bigg|_1^4+4x\bigg|_1^4\right)=\\ \left(\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{3}\bigg|_0^1\right)+\left(\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}\bigg|_1^4 -x^2\bigg|_1^4+4x\bigg|_1^4\right)=\\ \left(\frac{8\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{8\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}\right)+\left[\left(\frac{4\cdot4^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{4\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}\right)-(4^2-1^2)+4(4-1)\right]=\\ \frac{8}{3}+\left[\left(\frac{4\cdot8}{3}-\frac{4}{3}\right)-(16-1)+4(4-1)\right]=\\ \frac{8}{3}+\left[\left(\frac{4\cdot8}{3}-\frac{4}{3}\right)-15+4\cdot3\right]=\\ \frac{8}{3}+\left[\left(\frac{32}{3}-\frac{4}{3}\right)-15+12\right]=\\ \frac{8}{3}+\frac{32}{3}-\frac{4}{3}-15+12=\\ \frac{8+32-4}{3}-3=\\ \frac{36}{3}-3=12-3=9$
portanto a figura tem $9$ unidades de área.

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