Ensino Fundamental ⇒ Aritmética

[juniorcesar]

Calcule a soma de todas as frações positivas menores que 10, que possuem denominador 30, quando escritas na sua forma irredutível.

Resposta

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400

[paulo testoni]

Hola.

A forma geral das frações que atendem ao enunciado da questão é [tex3]\frac{n}{30}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n}{30}[/tex3]

onde n é um número inteiro positivo, com a condição mdc(n,30) = 1, onde mdc = máximo divisor comum. Esta condição dá obrigatoriedade de
mdc (n, 30) = 1, decorre da informação dada no enunciado, de que as frações são irredutíveis, ou seja, o numerador n e o denominador 30 devem ser números primos entre si.

Posto isso, poderemos escrever com base no enunciado, que [tex3]\frac{n}{30}<10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n}{30}<10[/tex3]

, de onde tiramos que [tex3]n<300[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n<300[/tex3]

, já que n é positivo. Percebemos facilmente que n não pode ser par, pois isto contrariaria a condição mdc (n,30) = 1.

O numerador não pode ser par, nem múltiplo de 3, nem múltiplo de 5 (já que 2.3.5 = 30)

[tex3]\frac{1}{30}+ \frac{5}{30}+\frac{7}{30}+\frac{11}{30}+ \frac{13}{30}+\frac{17}{30}+\frac{19}{30}+\frac{23}{30}+\frac{29}{30}+\frac{31}{30}+\frac{37}{30}+\frac{39}{30}+\frac{41}{30}+.............+\frac{293}{30}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{30}+ \frac{5}{30}+\frac{7}{30}+\frac{11}{30}+ \frac{13}{30}+\frac{17}{30}+\frac{19}{30}+\frac{23}{30}+\frac{29}{30}+\frac{31}{30}+\frac{37}{30}+\frac{39}{30}+\frac{41}{30}+.............+\frac{293}{30}[/tex3]

Resumindo: os numeradores (além de 1) são todos números primos maiores que 5

Agora é contigo.