Ensino Médio

09 Jun 2014, 16:00

Qual o número de soluções para [tex3]sen(x) - cos(x) = \sqrt{2}.sen(2x)[/tex3] no intervalo [tex3][0,2\pi][/tex3] ?

Resposta

Resp.: 6

__________________

Cheguei até aqui:
[tex3]sen(2x)=-1[/tex3]
[tex3]sen(2x)=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]2x=270 \Rightarrow x=135^\circ[/tex3] e
[tex3]2x=30 \Rightarrow x=15^\circ[/tex3] ; [tex3]2x=150 \Rightarrow x=75^\circ[/tex3]

e parei.
___________________

Obrigado.

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 09 Jun 2014, 22:41 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 09 Jun 2014, 22:41

Olá.

Pegando da sua solução:

$\sin (2x) = -1 \therefore \sin (2x) = \sin \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \therefore x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, x \in [0,2\pi]: \\\\ k = 0 , x = \frac{3\pi}{4}; k = 1, x = \frac{7\pi}{4} \\\\ \sin (2x) = \frac{1}{2} \therefore \sin (2x) = \sin \frac{\pi}{6} + 2k\pi \dots (i) \text{ ou } \sin (2x) = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \dots (ii) \\\\ (i): x = \frac{\pi}{12} + k\pi, x \in [0,2\pi]: \\\\ k = 0, x = \frac{\pi}{12}; k = 1, x = \frac{13\pi}{12} \\\\ (ii): x = \frac{5\pi}{12} + k\pi, x \in [0,2\pi]: \\\\ k = 0, x = \frac{5\pi}{12}; k = 1, x = \frac{17\pi}{12}$

Porém, testando, vê-se que nem todas as soluções satisfazem a equação. Isso ocorre pois ao elevar a equação ao quadrado, podemos induzir raízes estranhas.

Soluções, de fato, são apenas três: $\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12},\frac{7\pi}{4}$ .

Att.,
Pedro

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 11 Jun 2014, 12:48 · 11 Jun 2014, 12:48

Olá, Pessoal.

Fazendo por outro modo,

$\sin x-\cos x=\sqrt2\,\sin 2x$

$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\cos x\frac{\sqrt2}{2}=\sin 2x$

$\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2x$

Então,

$x-\frac{\pi}{4}=2x+2k\pi$

$x-\frac{\pi}{4}=\pi-2x+2k\pi$

Ou seja,

$x=-\frac{\pi}{4}-2k\pi$ , onde para $k=-1$ , temos que $x=\frac{7}{4}\pi$

$x=\frac{5}{12}\pi+\frac{2k}{3}\pi$ , no qual para $k=0,\,1,\,2$ , temos que $x=\frac{5}{12}\pi,\,\frac{13}{12}\pi,\,\frac{21}{12}\pi$

Espero ter ajudado, abraço.

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 11 Jun 2014, 12:58 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 11 Jun 2014, 12:58

No caso, Nélio, $\frac{7\pi}{4} = \frac{21\pi}{12}$ . Creio então que continuam sendo apenas 3 soluções.

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