Pré-Vestibular ⇒ (UEL-PR) Pirâmides Tópico resolvido

[nayalvesilva]

As maiores pirâmides egípcias são conhecidas pelo nome de “Pirâmides de Gizé” e estão situadas nas margens do Nilo. A maior e mais antiga é a de Quéops que tem a forma aproximada de uma pirâmide de base quadrada com 230 metros de lado e cujas faces laterais se aproximam de triângulos equiláteros. Em matemática, “pirâmide” é um sólido geométrico. Com essas informações, determine:

a) Qual é a medida de cada aresta da pirâmide de Queóps?
b) Qual é a altura de cada face da pirâmide de Queóps?
c) Qual é a altura da pirâmide de Queóps?
d) Qual é o volume da pirâmide de Queóps?

[ttbr96]

item a:
o enunciado diz que o lado da base quadrada desta pirâmide é de aproximadamente 230m.
ainda diz que, as faces laterais se aproximam de triângulos equiláteros.
um triângulo equilátero tem os três lados de igual medida.
com isso, podemos inferir que a aresta da pirâmide de Queóps medem aproximadamente 230m.

item b:
neste item, ela está perguntado quanto mede a apótema (a) da pirâmide.
então:

Código: Selecionar tudo

[tex3]l^2 = a^2 + \left(\frac{l}2\right)^2 \\\\\\
a^2 = l^2 - \frac{l^2}4 \\\\\\
a^2 = \frac{4l^2 - l^2}4 \\\\\\
a^2 = \frac{l^2(4 - 1)}4 \\\\\\
a = \sqrt{\frac{3l^2}4} \\\\\\
a = \frac{l \sqrt3}2 = \frac{230\sqrt3}2 = 115\sqrt3[/tex3]

item c:

Código: Selecionar tudo

[tex3]a^2 = h^2 + \left(\frac{l}2\right)^2 \\\\\\
h^2 = \left(\frac{l \sqrt3}2\right)^2 - \left(\frac{l}2\right)^2 \\\\\\
h^2 = \frac{3l^2}4 - \frac{l^2}4 \\\\\\
h = \sqrt{\frac{2l^2}4} = \sqrt{\frac{l^2}2} = \frac{l}{\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = \frac{l \sqrt2}2 = \frac{230 \sqrt2}2[/tex3]

item d:

Código: Selecionar tudo

[tex3]A_b = l^2 = 230^2[/tex3]

logo:

Código: Selecionar tudo

[tex3]V = \frac{A_b \cdot h}3 \\\\\\
V = \frac{l^2 \cdot \frac{l}{\sqrt2}}3 \\\\\\
V = \frac{l^3}{3 \sqrt2} \cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = \frac{l^3 \sqrt2} 6 = \frac{230^3 \sqrt2}6[/tex3]

ou

Código: Selecionar tudo

[tex3]V = \frac{230^2 \cdot \frac{230 \sqrt2}2}3} = \frac{230^3 \sqrt2}6[/tex3]