Olimpíadas ⇒ (OBMEP-2014) Teoria dos Números Tópico resolvido

[juniorcesar]

O número 2014 tem quatro algarismos distintos, um ímpar e três pares, sendo um deles 0. Quantos números possuem exatamente essas características?

[ttbr96]

números pares: {0, 2, 4, 6, 8}
números ímpares: {1, 3, 5, 7, 9}

aqui, temos que analisar 2 casos:
caso 1: primeira casa for par
se a primeira casa for par, teremos que analisar três situações:

situação 1:
primeira casa - par: 4 possibilidades
segunda casa - ímpar: 5 possibilidades
terceira casa - par: 4 possibilidades
quarta casa - par: 3 possibilidades
total: 4 * 5 * 4 * 3 = 240

situação 2:
primeira casa - par: 4 possibilidades
segunda casa - par: 4 possibilidades
terceira casa - ímpar: 5 possibilidades
quarta casa - par: 3 possibilidades
total: 4 * 4 * 5 * 3 = 240

situação 3:
primeira casa - par: 4 possibilidades
segunda casa - par: 4 possibilidades
terceira casa - par: 3 possibilidades
quarta casa - impar: 5 possibilidades
total: 4 * 4 * 3 * 5 = 240

logo, para o caso 1, teremos 3 * 240 = 720 possibilidades


caso 2: primeira casa for impar
primeira casa - impar: 5 possibilidades
segunda casa - par: 5 possibidades
terceira casa - par: 4 possibilidades
quarta casa - par: 3 possibilidades

logo, no caso 2, teremos 5 * 5 * 4 * 3 = 300 possibilidades

portanto, teremos 720 + 300 = 1020 números com essas características.