Ensino Médio ⇒ Álgebra

[Cientista]

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[tex3](k+1).x^{2}+(k+1).x-1=0[/tex3]

. Determine as raízes de modo que tenha uma única solução.

[PedroCunha]

Para que se tenha uma única solução, o discriminante deve ser nulo:

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[tex3](k+1)^2- 4 \cdot(k+1) \cdot (-1)=0\therefore k^2 + 2k +1 + 4k + 4 = 0 \therefore k^2 + 6k + 5 = 0 \\\\ \rightarrow k = \frac{-6\pm4}{2} \therefore k = -1 \text{ ou } k = -5[/tex3]

Porém, para

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[tex3]k = -1[/tex3]

, não teremos uma equação, visto que

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[tex3]k+1 = (-1) + 1 = 0[/tex3]

. Então, ficamos com

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[tex3]k = -5[/tex3]

, o que nos dá:

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[tex3](-5+1)x^2 + (-5+1)x - 1 =0 \therefore -4x^2 -4x + 1 = 0 \rightarrow x = \frac{4 \pm 0}{-8} \therefore x = -\frac{1}{2}[/tex3]

Att.,
Pedro

[Cientista]

Eu na verdade antes de postar, eu apanhei como

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[tex3]\Delta= k^2 +6k+5\rightarrow \Delta =(k+5).(k+1)[/tex3]

. Então, eu apartir daqui continuei, usando a expressão

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[tex3](k+1).x^{2}+(k+1).x-1=0[/tex3]

, e como para que ele tenha uma única solução, ou raiz dupla, ou raízes iguais, o discriminante deve ser igual a 0(ou nulo), logo

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[tex3]k_{1}=k_{2}\rightarrow \frac{-(k+1)+\sqrt{(k+5).(k+1)}}{\cancel{2.(k+1)}}=\frac{-(k+1)-\sqrt{(k+5).(k+1)}}{\cancel{2.(k+1)}}[/tex3]

. Desenvolvi, e determinei os valores dos K's, só que na verdade o exercício pedem as raízes x e não K. Se ele pedisse o valor de K de modo que tenha uma única solução, a minha resolução estaria correcta pois não?
Obrigado pela resolução(Detalhaste, muito bom ).

[Cientista]

Mas já percebi, o enunciado diz que o delta deve ser nulo, então essa expressão de (k+1).(k+5)=0 pois ele é o delta, e daí basta substituir. Esqueci de prestar essa atenção.