Ensino Médio ⇒ Grau de Polinômio Tópico resolvido

[MJ14]

Escrever o trinômio [tex3]2x^{4}+2x^{2}+25[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x^{4}+2x^{2}+25[/tex3]

sob a forma [tex3](x^{2}+m)^{2} + (x^{2}+n)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^{2}+m)^{2} + (x^{2}+n)^{2}[/tex3]

.

Resposta

---

Gabarito: [tex3](x^{2}+3)^{2}+(x-4)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^{2}+3)^{2}+(x-4)^{2}[/tex3]

Ps: Se Alguém puer me explicar o passo a passo desse tipo de questão agradeço.

[PedroCunha]

Olá, Mariana.

Uma maneira é igualar o que foi pedido com o que foi dado e utilizar a igualdade entre polinômios:

Código: Selecionar tudo

[tex3]2x^4+2x^2 +25 = (x^2+m)^2 + (x^2+n)^2 \therefore \\\\ 2x^4 + 2x^2 + 25 = x^4 + 2x^2m + m^2 + x^4 + 2x^2n + n^2 \therefore \\\\ 2x^4 + 2x^2 + 25 = 2x^4 + x^2 \cdot (2m+2n) + (m^2+n^2)[/tex3]

Por igualdade entre polinômios:

Código: Selecionar tudo

[tex3]2m+2n = 2 \therefore m+n = 1 \therefore m = 1 - n \\
m^2+n^2 = 25 \rightarrow (1-n)^2 + n^2 = 25 \therefore 1 - 2n + n^2 + n^2 = 25 \therefore \\\\ 2n^2 - 2n - 24 =0 \therefore n^2-n-12 = 0 \rightarrow n=\frac{1 \pm 7}{2} \therefore n = 4 \text{ ou } n = -3 \\\\ \begin{cases} m = 1-4 \therefore m = -3 \\ m = 1 - (-3) \therefore m = 4 \end{cases}[/tex3]

Então:

Código: Selecionar tudo

[tex3]2x^4+2x^2+25 = (x^2-3)^2 + (x^2+4)^2 \text{ ou } 2x^4+2x^2+25=(x^2+4)^2 +(x^2-3)^2[/tex3]

Seu gabarito está errado:

Código: Selecionar tudo

[tex3](x^2+3)^2 +(x-4)^2 = 2x^4-2x^2+25[/tex3]

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Abraços,
Pedro

[MJ14]

Ótima solução!
Me salvou como sempre haha
Obrigada