Calcule as derivadas:
1) f(x) = [tex3]x^{xx}[/tex3]
2) f(x) = [tex3](2 + sen(x))^{cos(3x)}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Cálculo de Derivadas Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Mai 2014
28
01:20
Re: Cálculo de Derivadas
Vou supor que você quis dizer
f(x) = [tex3]x^{x^{x}}[/tex3]
aplique o logaritmo neperiano dos dois lados na primeira linha:
[tex3]\ln(f(x)) = x^{x}\ln(x)[/tex3]
por diferenciação implícita e pela regra da derivada do produto:
[tex3]f'(x)/f(x) = \ln(x)d(x^{x})/dx + x^{x-1}[/tex3]
basta achar [tex3]d(x^{x})/dx[/tex3] mas isso é simples se repetir o procedimento:
seja g(x) = [tex3]x^{x}[/tex3]
então [tex3]\ln(g(x)) = x\ln(x)[/tex3]
então [tex3]g'(x)/g(x) = \ln(x) + 1[/tex3] (supus aqui que x>0 mas a função f ficaria esquisita(complexa em alguns pontos) se x pudesse ser negativo)
então [tex3]g'(x) = g(x)(\ln(x)+1) = x^{x}(\ln(x)+1)[/tex3]
logo [tex3]d(x^{x})/dx = x^{x}(\ln(x)+1)[/tex3]
e
[tex3]f'(x)/f(x) = x^{x}(\ln(x)+1)\ln(x) + x^{x-1}[/tex3]
[tex3]f'(x) = x^{x^{x}}(x^{x}(\ln(x)+1)\ln(x) + x^{x-1})[/tex3]
a letra b se vale do mesmo artifício de jogar o logaritmo dos dois lados e derivar implicitamente
f(x) = [tex3]x^{x^{x}}[/tex3]
aplique o logaritmo neperiano dos dois lados na primeira linha:
[tex3]\ln(f(x)) = x^{x}\ln(x)[/tex3]
por diferenciação implícita e pela regra da derivada do produto:
[tex3]f'(x)/f(x) = \ln(x)d(x^{x})/dx + x^{x-1}[/tex3]
basta achar [tex3]d(x^{x})/dx[/tex3] mas isso é simples se repetir o procedimento:
seja g(x) = [tex3]x^{x}[/tex3]
então [tex3]\ln(g(x)) = x\ln(x)[/tex3]
então [tex3]g'(x)/g(x) = \ln(x) + 1[/tex3] (supus aqui que x>0 mas a função f ficaria esquisita(complexa em alguns pontos) se x pudesse ser negativo)
então [tex3]g'(x) = g(x)(\ln(x)+1) = x^{x}(\ln(x)+1)[/tex3]
logo [tex3]d(x^{x})/dx = x^{x}(\ln(x)+1)[/tex3]
e
[tex3]f'(x)/f(x) = x^{x}(\ln(x)+1)\ln(x) + x^{x-1}[/tex3]
[tex3]f'(x) = x^{x^{x}}(x^{x}(\ln(x)+1)\ln(x) + x^{x-1})[/tex3]
a letra b se vale do mesmo artifício de jogar o logaritmo dos dois lados e derivar implicitamente
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qua 28 Mai, 2014 01:20). Total de 1 vez.
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