Ensino Médio

Mensagem não lidapor **PréIteano** » 26 Mai 2014, 22:24 · Mensagem não lida por **PréIteano** » 26 Mai 2014, 22:24

Sabendo que [tex3]tg^{2}[/tex3] (x + [tex3]\frac{\pi }{6}[/tex3] ) = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] , para algum x ∈ [0, [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3] ], determine sen x.

a) [tex3]\frac{3+\sqrt{6}}{6}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3-\sqrt{6}}{6}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3-\sqrt{3}}{6}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3+\sqrt{3}}{6}[/tex3]

Mensagem não lidapor **poti** » 02 Jun 2014, 02:30 · Mensagem não lida por **poti** » 02 Jun 2014, 02:30

$cos^2(x) + sen^2(x) = 1$

Divida por $sen^2(x)$ :

$\frac{1}{tg^2(x)} + 1 = \frac{1}{sen^2(x)}$

Portanto:

$\frac{1}{\frac{1}{2}} + 1 = \frac{1}{sen^2(x+\frac{\pi}{6})}$

$3 = \frac{1}{sen^2(x+\frac{\pi}{6})}$

$sen^2(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{3}$

Pelo enunciado, $x \in [0, \frac{\pi}{2}] \Rightarrow sen(x) > 0$ , então a raiz quadrada é positiva:

$sen(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$sen(x) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + cos(x) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$3\sqrt{3}sen(x) + 3cos(x) = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{3}(3sen(x) - 2) = -3cos(x)$

Pela relação fundamental, escreva o cosseno em função do seno e eleve ao quadrado:

$3(3sen(x) - 2)^2 = 9(1 - sen^2(x))$

$27sen^2(x) - 36sen(x) + 12 = 9 - 9sen^2(x)$

$36sen^2(x) - 36sen(x) + 3 = 0$

$12sen^2(x) - 12sen(x) + 1 = 0$

$sen(x) = \frac{12 \pm \sqrt{96}}{24}$

$sen(x) = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{24}$

$\boxed{sen(x) = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{6}}$

Não achei nenhuma restrição rígida pra eliminar um dos valores, mas pela lógica, como o valor da tangente é baixo, o valor de $sen(x)$ não pode ser o mais alto (que vale aproximadamente nove décimos, perto do máximo). Fielmente, só substituindo os valores e percebendo qual bate com a equação original, o que dá um trabalhinho.

$\boxed{\boxed{sen(x) = \frac{3 - \sqrt{6}}{6}}}$

Letra B

Abraço!

Mensagem não lidapor **poti** » 02 Jun 2014, 02:33 · Mensagem não lida por **poti** » 02 Jun 2014, 02:33

Outro jeito, talvez mais fácil, seria substituir $sen^2(x+\frac{\pi}{6})$ por $\frac{1}{2} - \frac{cos(2x + \frac{\pi}{3})}{2}$ , achar em função do cosseno e depois achar o seno. Não tentei.

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