OBM - Os lados de um triângulo formam uma progressão aritmética de razão [tex3]t[/tex3]
a) [tex3]t[/tex3]
b) [tex3]t/2[/tex3]
c) [tex3]t/3[/tex3]
d) [tex3]2t/3[/tex3]
e) faltam dados
. Então a distância entre o incentro e o baricentro deste triângulo é:Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ (OBM) Baricentro e Incentro
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(OBM) Baricentro e Incentro
Editado pela última vez por gabrielbpf em 24 Mai 2014, 19:17, em um total de 3 vezes.
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Re: (OBM) Baricentro e Incentro
Por ser uma questão aberta, acho melhor fazer um caso particular pra chegar na resposta. Tomei [tex3]t = 1[/tex3]
Achemos as coordenadas [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] que satisfazem:
[tex3]\begin{cases}
\sqrt{(x-6)^2 + y^2} = 7 \\
\sqrt{x^2 + y^2} = 8
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x^2 - 12x + y^2 = 13 \\
x^2 + y^2 = 64
\end{cases}[/tex3]
Subtraindo a primeira da segunda:
[tex3]12x = 51[/tex3]
[tex3]\boxed{x = \frac{17}{4}}[/tex3]
Jogando na segunda:
[tex3]\boxed{y = \frac{7\sqrt{15}}{4}}[/tex3]
[tex3]G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)[/tex3]
[tex3]G = \left(\frac{0 + 6 + \frac{17}{4}}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{7\sqrt{15}}{4}}{3}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{G = \left(\frac{41}{12}, \frac{7\sqrt{15}}{12}\right)}[/tex3]
[tex3]I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a + b + c}[/tex3]
[tex3]I = \frac{7 \cdot (0,0) + 8 \cdot (6,0) + 6 \cdot \left(\frac{17}{4},\frac{7\sqrt{15}}{4}\right)}{21}[/tex3]
[tex3]I = \frac{\left(48 + \frac{51}{2}, \frac{21\sqrt{15}}{2}\right)}{21}[/tex3]
[tex3]\boxed{I = \left(\frac{147}{42}, \frac{21\sqrt{15}}{42}\right)}[/tex3]
Passando [tex3]G[/tex3] para o mesmo divisor de [tex3]I[/tex3] :
[tex3]G = \left(\frac{41 \cdot 3,5}{12 \cdot 3,5}, \frac{7\sqrt{15} \cdot 3,5}{12 \cdot 3,5}\right)[/tex3]
[tex3]G = \left(\frac{143,5}{42}, \frac{24,5\sqrt{15}}{42}\right)[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{147}{42} - \frac{143,5}{42}\right)^2 + \left(\frac{21\sqrt{15}}{42} - \frac{24,5\sqrt{15}}{42}\right)^2}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{3,5}{42}\right)^2 + \left(\frac{-3,5\sqrt{15}}{42}\right)^2}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{1}{12}\right)^2 + \left(\frac{-\sqrt{15}}{12}\right)^2}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\frac{1}{12^2} + \frac{15}{12^2}}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\frac{4^2}{12^2}}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \frac{1}{3} = \boxed{\boxed{\frac{t}{3}}}[/tex3]
Letra C
Achei que por coordenadas seria mais fácil...
para montar o triângulo a seguir, que satisfaz as desigualdades triangulares:Achemos as coordenadas [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] que satisfazem:
[tex3]\begin{cases}
\sqrt{(x-6)^2 + y^2} = 7 \\
\sqrt{x^2 + y^2} = 8
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x^2 - 12x + y^2 = 13 \\
x^2 + y^2 = 64
\end{cases}[/tex3]
Subtraindo a primeira da segunda:
[tex3]12x = 51[/tex3]
[tex3]\boxed{x = \frac{17}{4}}[/tex3]
Jogando na segunda:
[tex3]\boxed{y = \frac{7\sqrt{15}}{4}}[/tex3]
[tex3]G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)[/tex3]
[tex3]G = \left(\frac{0 + 6 + \frac{17}{4}}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{7\sqrt{15}}{4}}{3}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{G = \left(\frac{41}{12}, \frac{7\sqrt{15}}{12}\right)}[/tex3]
[tex3]I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a + b + c}[/tex3]
[tex3]I = \frac{7 \cdot (0,0) + 8 \cdot (6,0) + 6 \cdot \left(\frac{17}{4},\frac{7\sqrt{15}}{4}\right)}{21}[/tex3]
[tex3]I = \frac{\left(48 + \frac{51}{2}, \frac{21\sqrt{15}}{2}\right)}{21}[/tex3]
[tex3]\boxed{I = \left(\frac{147}{42}, \frac{21\sqrt{15}}{42}\right)}[/tex3]
Passando [tex3]G[/tex3] para o mesmo divisor de [tex3]I[/tex3] :
[tex3]G = \left(\frac{41 \cdot 3,5}{12 \cdot 3,5}, \frac{7\sqrt{15} \cdot 3,5}{12 \cdot 3,5}\right)[/tex3]
[tex3]G = \left(\frac{143,5}{42}, \frac{24,5\sqrt{15}}{42}\right)[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{147}{42} - \frac{143,5}{42}\right)^2 + \left(\frac{21\sqrt{15}}{42} - \frac{24,5\sqrt{15}}{42}\right)^2}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{3,5}{42}\right)^2 + \left(\frac{-3,5\sqrt{15}}{42}\right)^2}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{1}{12}\right)^2 + \left(\frac{-\sqrt{15}}{12}\right)^2}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\frac{1}{12^2} + \frac{15}{12^2}}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \sqrt{\frac{4^2}{12^2}}[/tex3]
[tex3]d(I,G) = \frac{1}{3} = \boxed{\boxed{\frac{t}{3}}}[/tex3]
Letra C
Achei que por coordenadas seria mais fácil...
Editado pela última vez por poti em 24 Mai 2014, 22:24, em um total de 3 vezes.
VAIRREBENTA!
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Mai 2014
24
22:43
Re: (OBM) Baricentro e Incentro
Olá, há uma propriedade muito interessante a respeito dos lados dos triângulos e a posição de seu baricentro e incentro:
Lema: Se um dos lados de um triângulo ABC for a média arimética dos outros dois, então a linha que une o incentro e o baricentro deste triângulo é paralela ao lado que é a média aritmética dos outros.
Prova: Se BC = (AC+AB)/2 ao traçar-se pelo baricentro G do triângulo uma reta paralela ao lado BC
teremos que ela intersecta os lados AC e AB em F e E respectivamente.
os triângulos ABC e AEF são semelhantes devido aos seus ângulos serem iguais (compartilham o ângulo Â) e os outros ângulos são iguais pois EF é paralela ao lado BC e ambas cortam os lados AC e AB segundo os mesmo ângulos.
Ao traçar-se a mediana AD do triângulo ABC a partir do vértice A vemos que ela intersecta EF em G de onde conclui-se que AG é a mediana de AEF (então G é ponto médio de EF) por conta da semelhança dos triângulos ABC e AEF.
A razão de semelhança entre os triângulos é a mesma que a razão entre o tamanho de suas medianas que é
AG/AD = 2/3 (propriedade notável do baricentro)
Logo:
EF/BC = 2/3
EF = 2BC/3 = (AB+AC)/3
e:
AE/AB = 2/3
AE=2AB/3
EB = AB/3
analogamente:
FC = AC/3
Repare agora que ao tomarmos o ponto I , interior ao triângulo , sobre a reta EF tal que EI = AB/3 obtêm-se um triângulo isósceles IEB (EI = EB) logo a reta BI é a bissetriz do ângulo B(pois o ângulo EBI = IBC devido ao paralelismo das retas EF e BC).
Como EI = AB/3 então:
FI = EF - EI = (AB+AC)/3 - AB/3 = AC/3
Novamente temos um triângulo isósceles agora IFC(FI = FC) logo IC é bissetriz do ângulo C e então I é o incentro do triângulo ABC e está sobre a reta EC junto ao baricentro do mesmo triângulo c.q.d
A distância entre o incentro e o baricentro será:
GI = EG - EI = (AC+AB)/6 - AB/3 = (AC - AB)/6
No problema pedido claramente teremos um dos lados como sendo a média aritmética dos outros dois pois temos uma PA de três termos. Se supormos AC>AB e AC = AB + 2t
Logo GI = (AC - AB)/6 = 2t/6 = t/3
Lema: Se um dos lados de um triângulo ABC for a média arimética dos outros dois, então a linha que une o incentro e o baricentro deste triângulo é paralela ao lado que é a média aritmética dos outros.
Prova: Se BC = (AC+AB)/2 ao traçar-se pelo baricentro G do triângulo uma reta paralela ao lado BC
teremos que ela intersecta os lados AC e AB em F e E respectivamente.
os triângulos ABC e AEF são semelhantes devido aos seus ângulos serem iguais (compartilham o ângulo Â) e os outros ângulos são iguais pois EF é paralela ao lado BC e ambas cortam os lados AC e AB segundo os mesmo ângulos.
Ao traçar-se a mediana AD do triângulo ABC a partir do vértice A vemos que ela intersecta EF em G de onde conclui-se que AG é a mediana de AEF (então G é ponto médio de EF) por conta da semelhança dos triângulos ABC e AEF.
A razão de semelhança entre os triângulos é a mesma que a razão entre o tamanho de suas medianas que é
AG/AD = 2/3 (propriedade notável do baricentro)
Logo:
EF/BC = 2/3
EF = 2BC/3 = (AB+AC)/3
e:
AE/AB = 2/3
AE=2AB/3
EB = AB/3
analogamente:
FC = AC/3
Repare agora que ao tomarmos o ponto I , interior ao triângulo , sobre a reta EF tal que EI = AB/3 obtêm-se um triângulo isósceles IEB (EI = EB) logo a reta BI é a bissetriz do ângulo B(pois o ângulo EBI = IBC devido ao paralelismo das retas EF e BC).
Como EI = AB/3 então:
FI = EF - EI = (AB+AC)/3 - AB/3 = AC/3
Novamente temos um triângulo isósceles agora IFC(FI = FC) logo IC é bissetriz do ângulo C e então I é o incentro do triângulo ABC e está sobre a reta EC junto ao baricentro do mesmo triângulo c.q.d
A distância entre o incentro e o baricentro será:
GI = EG - EI = (AC+AB)/6 - AB/3 = (AC - AB)/6
No problema pedido claramente teremos um dos lados como sendo a média aritmética dos outros dois pois temos uma PA de três termos. Se supormos AC>AB e AC = AB + 2t
Logo GI = (AC - AB)/6 = 2t/6 = t/3
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 24 Mai 2014, 22:43, em um total de 1 vez.
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24
00:17
Re: (OBM) Baricentro e Incentro
Tem um jeito mais rápido de ver isso se você usar o teorema do incentro.
Chame de [tex3]A[/tex3] o vértice oposto ao lado que é a média aritmética dos outros dois.
Seja [tex3]D[/tex3] o pé da bissetriz interna do vértice [tex3]A[/tex3] do triângulo [tex3]ABC[/tex3] no lado [tex3]BC[/tex3] .
[tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] .
[tex3]G[/tex3] e [tex3]I[/tex3] respectivamente o baricentro e incentro de [tex3]ABC[/tex3]
Então [tex3]\frac{AI}{ID} = \frac{b+c}{a} = \frac{2a}{a} = 2 = \frac{AG}{GM}[/tex3]
então [tex3]\Delta AIG \sim \Delta ADM[/tex3] por [tex3]LAL[/tex3]
portanto [tex3]IG \parallel DM = BC[/tex3]
logo [tex3]IG = \frac23 DM = \frac23 (BM-BD) = \frac23(\frac a2 - \frac{ca}{b+c}) = \frac23(\frac a2 -\frac c2) = \frac t3[/tex3]
Chame de [tex3]A[/tex3] o vértice oposto ao lado que é a média aritmética dos outros dois.
Seja [tex3]D[/tex3] o pé da bissetriz interna do vértice [tex3]A[/tex3] do triângulo [tex3]ABC[/tex3] no lado [tex3]BC[/tex3] .
[tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] .
[tex3]G[/tex3] e [tex3]I[/tex3] respectivamente o baricentro e incentro de [tex3]ABC[/tex3]
Então [tex3]\frac{AI}{ID} = \frac{b+c}{a} = \frac{2a}{a} = 2 = \frac{AG}{GM}[/tex3]
então [tex3]\Delta AIG \sim \Delta ADM[/tex3] por [tex3]LAL[/tex3]
portanto [tex3]IG \parallel DM = BC[/tex3]
logo [tex3]IG = \frac23 DM = \frac23 (BM-BD) = \frac23(\frac a2 - \frac{ca}{b+c}) = \frac23(\frac a2 -\frac c2) = \frac t3[/tex3]
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