Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória

[MJ14]

O número de divisores inteiros positivos de 240 que deixam resto
2 na divisão por 4 é:

(A) 4. .
(B) 8.
(C) 10.
(D) 3.
(E) 5.

[PedroCunha]

Olá, Mariana.

Não consegui encontrar um jeito prático de resolver. Tendo 240 relativamente poucos divisores inteiros positivos, dá para fazer no 'braço'. São eles:

Código: Selecionar tudo

[tex3]1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240[/tex3]

.

Os que deixam resto 2 na divisão por 4 são da forma:

Código: Selecionar tudo

[tex3]4k + 2[/tex3]

. Os únicos são:

Código: Selecionar tudo

[tex3]2,6,10,30[/tex3]

Letra A.

Abraços,
Pedro

[Imperial]

Pedro, já que os números são da forma 4k+2, temos que 2 divide 4k+2. Logo, os numeros que queremos sao divisores de 240, divisiveis por 2, e nao divisiveis por 4. Entao, fatorando 240 temos (2^4)*3*5. Porém, de acordo com as condiçoes impostas acima, deve haver, obrigatoriamente, apenas 1 fator 2 em cada numero que iremos descobrir. Entao temos que estes numeros sao: 2, 2*3, 2*5 e 2*3*5.

Desculpe por nao usar o TEX, é que estou digitando pelo celular.

Abraços!

[PedroCunha]

Excelente solução, Imperial.