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Mensagem não lidapor **Natan** » 17 Mai 2014, 00:49 · Mensagem não lida por **Natan** » 17 Mai 2014, 00:49

Prove que para todo $n$ inteiro, o número $\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}$ é um inteiro.

Mensagem não lidapor **AndreFgm** » 17 Mai 2014, 01:34 · Mensagem não lida por **AndreFgm** » 17 Mai 2014, 01:34

Olá Natan,

Podemos rescrever a expressão dada da seguinte forma:
$\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{3n^5+5n^3 +7n}{15}$
Dessa forma, é evidente que se o número dado é um inteiro, então $3n^5+5n^3 +7n$ é múltiplo de $15$ , e podemos escrever:
$3n^5+5n^3 +7n=15k$
Onde $k$ é um número inteiro.

Observe que a relação é válida para $n=0$ , uma vez que
$3.0^5 +5.0^3 + 7.0=0$

Podemos prosseguir por indução, supondo que tal relação valha para um número $n$ qualquer, isto é, $3n^5+5n^3 +7n$ é um múltiplo de $15$ para este número, temos, para $n+1$ , que:
$3(n+1)^5+5(n+1)^3 +7(n+1)=n^5+15n^4+35n^3+45 n^2+37n +15=$
$=(3n^5+5n^3+7n)+(15n^4+30n^3+45n^2+30n+15)=$
$=15k+15(n^4+2n^3+3n^2+2n+1)$
Que é notoriamente, também, um múltiplo de $15$ .
Portanto, decorre por indução que a relação referida é verdadeira para todos os números inteiros $n\geq 0$

Resta demonstrar que também é válida para os inteiros negativos.
Tendo considerado para $n+1$ , considere agora a expressão obtida para $n-1$ ,
$3(n-1)^5+5(n-1)^3 +7(n-1)=3n^5-15n^4+35n^3-45n^2+37n-15=$
$=(3n^5 +5n^3+7n)-(15n^4-30n^3+45n^2-30n+15)=$
$=15k-15(n^4-2n^3+3n^2-2n+1)$
Que é, também, um evidente múltiplo de 15.
Portanto, por indução, a relação é também verdadeira para o numeiros inteiros negativos.

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