Ensino Médio

kevin22 · Mensagem não lida por **kevin22** » 15 Mai 2014, 19:52

Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer da progressão é também um termo da progressão?

Mensagem não lidapor **poti** » 15 Mai 2014, 21:09 · Mensagem não lida por **poti** » 15 Mai 2014, 21:09

Seja $(a_1, a_2, ..., a_n)$ uma progressão aritmética. Queremos achar a condição para que:

$S = a_i + a_j \in (a_1, a_2, ..., a_n) \ \forall \ i,j \leq n$

Primeiro, suponha que $S$ faça parte da PA. Usando a fórmula do termo geral:

$S = a_1 + (i-1)r + a_1 + (j-1)r$
$S = 2a_1 + (i+j-2)r$
$S - (i+j-2)r = 2a_1$

Se $S$ faz parte da PA, $S - (i+j-2)r$ também faz parte, pois está decrescido de um valor que é múltiplo da razão. Sendo assim, o lado direito também precisa fazer parte da PA.

$\boxed{S \in (a_1, a_2, ..., a_n) \Rightarrow 2a_1 \in (a_1, a_2, ..., a_n)}$

Ou seja, as progressões são aquelas onde o dobro do primeiro termo também pertence à progressão.

kevin22 · Mensagem não lida por **kevin22** » 15 Mai 2014, 21:51

poti, esqueci de colocar o gabarito, nele está : [tex3]a_{1}[/tex3] = kr, com k [tex3]\geq[/tex3] 0, k inteiro , pode me ajudar?

Mensagem não lidapor **poti** » 15 Mai 2014, 23:59 · Mensagem não lida por **poti** » 15 Mai 2014, 23:59

Minha resposta cobre a sua. Imagine que $2a_1$ é um termo $a_k$ genérico da PA. Então:

$PA = (a_1, a_2, ..., \underset{(a_k)}{2a_1}, ..., a_n)$

$a_k = a_1 + (k-1)r$ (I)
$a_k = 2a_1$ (II)

Igualando (I) e (II):

$a_1 = (k-1)r$

Como $k-1$ é inteiro, basta chamar $k' = k - 1$ :

$\boxed{a_1 = k'r, \ k' > 1}$

Abraço!

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