Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Natan** » 08 Mai 2014, 21:01 · Mensagem não lida por **Natan** » 08 Mai 2014, 21:01

Se $2014^x=19$ e $2014^y=53$ calcule $106^{1-x-\frac{y}{1-x}}$

Mensagem não lidapor **Natan** » 13 Mai 2014, 17:24 · Mensagem não lida por **Natan** » 13 Mai 2014, 17:24

Alguém?

Mensagem não lidapor **Marcos** » 24 Fev 2016, 20:36 · Mensagem não lida por **Marcos** » 24 Fev 2016, 20:36

Olá Natan.Observe a solução:

Observando que $2014=2.19.53$ temos $106=\frac{2014}{19}=\frac{2014}{2014^{x}}=2014^{1-x}$
Se $2014^x=19\rightarrow(2014^x)^x=19^x\rightarrow (2014^{2x})=19^x$ e $2014^y=53$

Logo, $\ \ \ \ 106^{1-x-\frac{y}{1-x}}=\frac{106^{1-x}}{106^{\frac{y}{1-x}}}$

$i)$ $106^{1-x}$ = $\frac{106^1}{106^x}$ = $\frac{\frac{2014}{19}}{\frac{2014^{x}}{19^{x}}}$ = $\frac{2014}{19}.\frac{19^{x}}{2014^{x}}$ = $\frac{2014.2014^{x}.2014^{x}}{19.2014^{x}}=\frac{2014.19.2014^{x}}{19.2014^{x}}=2014$

$ii)$ $106^{\frac{y}{1-x}$ = $\left(2014^{1-x}\right)^{\frac{y}{1-x}$ = $2014^{y}=53$

Temos então $\ \ \ \ 106^{1-x-\frac{y}{1-x}}=\frac{106^{1-x}}{106^{\frac{y}{1-x}}}=\frac{2014}{53}=\boxed{\boxed{38}}$

Resposta: $38$

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