Ensino Médio ⇒ Somatório de binomiais

[marciaqueiroz]

Para todo n e p [tex3]\in[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in[/tex3]

[tex3]\mathbb{N}*[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{N}*[/tex3]

, o valor de [tex3]\sum_{n=1}^{p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=1}^{p}[/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
n-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
n \\
n-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

é sempre:

a)[tex3]2^{p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{p}[/tex3]

b)[tex3]\frac{p(p+1)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{p(p+1)}{2}[/tex3]

c)[tex3]\begin{pmatrix}
p+1 \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
p+1 \\
p \\
\end{pmatrix}[/tex3]

d)[tex3]\begin{pmatrix}
p+2 \\
p-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
p+2 \\
p-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

e)[tex3]\begin{pmatrix}
n+2 \\
n+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
n+2 \\
n+1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Resposta

---

b

[PedroCunha]

Olá, marciaqueiroz.

[tex3]\binom {1}{0} + \binom{2}{1} + \binom{3}{2} + \binom{4}{3} + \dots + \binom{p}{p-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\binom {1}{0} + \binom{2}{1} + \binom{3}{2} + \binom{4}{3} + \dots + \binom{p}{p-1}[/tex3]

Note que [tex3]p = 1 + (p-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p = 1 + (p-1)[/tex3]

. Então, reescrevendo:

[tex3]\binom {1}{0} + \binom{2}{1} + \binom{3}{2} + \binom{4}{3} + \dots + \binom{1 + (p-1)}{p-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\binom {1}{0} + \binom{2}{1} + \binom{3}{2} + \binom{4}{3} + \dots + \binom{1 + (p-1)}{p-1}[/tex3]

Já vimos essa soma. Sendo [tex3]n = 1, k = (p-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n = 1, k = (p-1)[/tex3]

, temos:

[tex3]S = \binom {1+(p-1)+1} {p-1} \therefore S = \binom{p+1}{p-1} = \frac{p \cdot (p+1)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \binom {1+(p-1)+1} {p-1} \therefore S = \binom{p+1}{p-1} = \frac{p \cdot (p+1)}{2}[/tex3]

Att.,
Pedro