Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Henrique10** » 07 Mai 2014, 07:07 · Mensagem não lida por **Henrique10** » 07 Mai 2014, 07:07

Classifique como verdadeiro ou falso:

O número $25!$ apresenta exatamente $7$ zeros em seu final.

Mensagem não lidapor **Marcos** » 10 Mai 2014, 19:57 · Mensagem não lida por **Marcos** » 10 Mai 2014, 19:57

Olá Henrique10.Observe a solução:

[tex3]\Rightarrow[/tex3] O número $25!$ terminará em tantos zeros como muitas vezes aparece em sua decomposição em fatores primos $2.5$ .
[tex3]\Rightarrow[/tex3] Como o fator $2$ aparece mais vezes que o fator $5$ , último suficiente.
[tex3]\Rightarrow[/tex3] O fator $5$ aparece uma vez para cada múlitplo de $5$ , que são $5$ , e mais uma vez para cada múltiplo de $25$ , que é $1$ .
[tex3]\Rightarrow[/tex3] No total $5+1=6$
[tex3]\Rightarrow[/tex3] Então $25!$ termina em $6$ zeros.

$\blacktriangleright$ O número $25!$ apresenta exatamente $7$ zeros em seu final. [tex3]\Longrightarrow[/tex3] $\boxed{\boxed{Falso}}$

Resposta: $Falso$

Mensagem não lidapor **Marcos** » 12 Mai 2014, 22:24 · Mensagem não lida por **Marcos** » 12 Mai 2014, 22:24

Olá Henrique10.Observe uma 2ª solução:

$25!$ é equivalente a $25.24.23.22.21.20.19.18.17.16.15.14.13.12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1$
$25!=5^2.(2^2.3).23.(2.11).3.7.(2^2.5).19.(2.3^2).17.(2^4).3.5.(2.7).13.(2^2.3).11.(2.5).3^2.(2^3).7.(2.3).5.(2^2).3.2$
$25!=5^2.(2^2.3).23.(2.11).3.7.(2^2.5).19.(2.3^2).17.(2^4).3.5.(2.7).13.(2^2.3).11.(2.5).3^2.(2^3).7.(2.3).5.(2^2).3.2$
$25!=2^{21}.3^{10}.5^{6}.7^3.11^2.13.17.19.23$
$25!=2^{21}.5^{6}.3^{10}.7^3.11^2.13.17.19.23$
$25!=2^{15}.(2^{6}.5^{6}).3^{10}.7^3.11^2.13.17.19.23$
$25!=2^{15}.3^{10}.7^3.11^2.13.17.19.23.(2.5)^{6}$
$25!=[2^{15}.3^{10}.7^3.11^2.13.17.19.23].(10)^{6}$ $\Longrightarrow$ termina $\boxed{6}$ zeros.

$\blacktriangleright$ O número $25$ ! apresenta exatamente $7$ zeros em seu final. $\Longrightarrow$ $\boxed{\boxed{Falso}}$

Resposta: $Falso$

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