Ensino Médio ⇒ Números Complexos Tópico resolvido

[Ecodaro]

3) Resolva a equação [tex3]z^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^2[/tex3]

- 2z +i = 0, no conjunto dos complexos.

Obrigado!

[PedroCunha]

Olá.

Código: Selecionar tudo

[tex3]\triangle = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot i \therefore \triangle = 4 - 4i \therefore \triangle = 4 \cdot (1-i) \\\\
z = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1-i)}}{2} \therefore z = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1-i}}{2}\therefore z = 1 \pm \sqrt{1-i}[/tex3]

Att.,
Pedro

[cava107]

Olá.

Código: Selecionar tudo

[tex3]\triangle = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot i \therefore \triangle = 4 - 4i \therefore \triangle = 4 \cdot (1-i) \\\\
z = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1-i)}}{2} \therefore z = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1-i}}{2}\therefore z = 1 \pm \sqrt{1-i}[/tex3]

Att.,
Pedro

Invadindo o tópico aqui do Ecodaro (rsrs), só por conta de uma dúvida. Você resolveu esta questão usando bhaskara, mas por exemplo, se fossemos resolver a equação [tex3]x^{4} + \sqrt{2} + \sqrt{2i} =0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{4} + \sqrt{2} + \sqrt{2i} =0[/tex3]

, no caso, teríamos que passa-la pra forma trigonométrica, tirar a raiz quarta, e testar [tex3]Z_{0} Z_{1} Z_{2} Z_{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Z_{0} Z_{1} Z_{2} Z_{3}[/tex3]

.

Minha dúvida é, como saber qual tipo de equação no conjunto dos complexos eu resolvo utilizando bhaskara e qual eu resolvo passando pra forma trigonométrica, e variando [tex3]k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k[/tex3]

Obrigado!

[PedroCunha]

Na verdade não. Suponho que a equação seja

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[tex3]x^4 + \sqrt2 \cdot x^2 + \sqrt{2}i[/tex3]

Fazendo

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[tex3]x^2 = y[/tex3]

, temos:

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[tex3]y^2 + \sqrt{2} \cdot y + \sqrt{2}i = 0 \rightarrow \triangle = \sqrt{2}^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{2}i \therefore \triangle =2 - 4\sqrt{2}i \therefore \\ \triangle = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} - \sqrt2 i \right) \\\\ y = \frac{-\sqrt2 \pm \sqrt{4 \cdot \left( \frac{1}{2} - \sqrt{2}i\right)}}{2} \therefore y = \frac{-\sqrt 2 \pm 2\sqrt{\left( \frac{1}{2} - \sqrt{2}i\right)}}{2}[/tex3]

E com isso,

Código: Selecionar tudo

[tex3]x = \pm \sqrt{\frac{-\sqrt 2 \pm 2\sqrt{\left( \frac{1}{2} - \sqrt{2}i\right)}}{2}}[/tex3]

.

De forma geral, utilizamos a segunda Lei de Moivre quando os arcos são notáveis ou quando já nos é dado o número na sua forma trigonométrica.

Att.,
Pedro