Encontre todos os primos [tex3]p[/tex3]
[tex3]\frac{2^{p-1}-1}{p}[/tex3]
é um quadrado perfeito.
, para os quais o quociente.Olimpíadas ⇒ Números primos
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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- Última visita: 31-12-69
Jun 2014
19
22:36
Re: Números primos
Cara, não consegui resolver ainda mas vou deixar aqui algumas observações que eu acho que podem ajudar a resolver esse problema:
Se teremos:
então não nos convém.
Pelo pequeno teorema de fermat se e é primo então:
Se então o pequeno teorema de fermat garante que
é múltiplo de
o problema pede que:
como é ímpar podemos dizer que é um quadrado perfeito. Pois o expoente é par. Mais do que isso não é divisível por 3. Pois é uma potência de 2.
Lema: Todo quadrado perfeito quando dividido por 3 deixa restos:
1 - se não for múltiplo de 3
0 - se é múltiplo de 3
Prova: ou pra inteiro positivo então
ou então
ou então
cqd
então temos que então devemos ter que:
excetuando-se o caso que satisfaz a condição do problema pois:
devemos ter então e é fácil ver que deve ser ímpar, pois é ímpar e também é. Então .
Com esta descoberta podemos inferir agora que se então
observemos que:
e a partir dai o padrão se repete.
Então só é divisível por 9 se pra algum inteiro não-negativo, então temos que
teremos:
Lema: todo quadrado perfeito ímpar deixa resto 1 quando dividido por 4. Todo quadrado perfeito par é divisível por 4.
Prova: Seja então
pra os primos com temos que é divisível por 4 então:
do lado direito:
então
e :
vou só mostrar que deve ser ímpar e deixar indicada a PA em que se encontra. Pelo teorema de Dirichlet para progressões aritméticas, temos que existem infinitos primos nessa sequência, então eu não resolvi o problema, mas o restringi um pouco. Espero que isso sirva pra alguém.
Lema: todo quadrado perfeito ímpar deixa resto 1 quando dividido por 8.
Prova: Seja então
é fácil ver que é par.
pra os primos com temos que é divisível por 8 então:
do lado direito:
então
cqd
como
então
alguns candidatos a solução são:
Se teremos:
então não nos convém.
Pelo pequeno teorema de fermat se e é primo então:
Se então o pequeno teorema de fermat garante que
é múltiplo de
o problema pede que:
como é ímpar podemos dizer que é um quadrado perfeito. Pois o expoente é par. Mais do que isso não é divisível por 3. Pois é uma potência de 2.
Lema: Todo quadrado perfeito quando dividido por 3 deixa restos:
1 - se não for múltiplo de 3
0 - se é múltiplo de 3
Prova: ou pra inteiro positivo então
ou então
ou então
cqd
então temos que então devemos ter que:
excetuando-se o caso que satisfaz a condição do problema pois:
devemos ter então e é fácil ver que deve ser ímpar, pois é ímpar e também é. Então .
Com esta descoberta podemos inferir agora que se então
observemos que:
e a partir dai o padrão se repete.
Então só é divisível por 9 se pra algum inteiro não-negativo, então temos que
teremos:
Lema: todo quadrado perfeito ímpar deixa resto 1 quando dividido por 4. Todo quadrado perfeito par é divisível por 4.
Prova: Seja então
pra os primos com temos que é divisível por 4 então:
do lado direito:
então
e :
vou só mostrar que deve ser ímpar e deixar indicada a PA em que se encontra. Pelo teorema de Dirichlet para progressões aritméticas, temos que existem infinitos primos nessa sequência, então eu não resolvi o problema, mas o restringi um pouco. Espero que isso sirva pra alguém.
Lema: todo quadrado perfeito ímpar deixa resto 1 quando dividido por 8.
Prova: Seja então
é fácil ver que é par.
pra os primos com temos que é divisível por 8 então:
do lado direito:
então
cqd
como
então
alguns candidatos a solução são:
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qui 19 Jun, 2014 22:36). Total de 1 vez.
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- Última visita: 31-12-69
Jan 2015
09
11:11
Re: Números primos
logo para todo primo da forma
excetuando-se o caso isso implica que
só vai ser quando
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 09 Jan, 2015 11:11). Total de 1 vez.
Jan 2015
09
11:58
Re: Números primos
Ol,á a todos,
Primeiro faz-se o teste com , como sousóeu fez.
Todo primo é ímpar, logo seja p da foma
Como e cada fator é um número ímpar consecutivo, a equação se torna em resolver :
Ambos fatores devem ser potências de 2, isso só acontece
Logo, só tem solução para , analogamente pode-se ter .
Os números são
Para complemento: Fermat Quotient
Abraço !
Primeiro faz-se o teste com , como sousóeu fez.
Todo primo é ímpar, logo seja p da foma
Como e cada fator é um número ímpar consecutivo, a equação se torna em resolver :
Ambos fatores devem ser potências de 2, isso só acontece
Logo, só tem solução para , analogamente pode-se ter .
Os números são
Para complemento: Fermat Quotient
Abraço !
Última edição: Vinisth (Sex 09 Jan, 2015 11:58). Total de 1 vez.
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