Ensino Médio ⇒ MMC e MDC

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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paulo testoni
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MMC e MDC

Mensagem não lidapor paulo testoni » Sáb 27 Jan, 2007 16:18

Mensagem não lida por paulo testoni »

1) A soma de dois números é [tex3]320[/tex3] e o [tex3]\text{mmc}[/tex3] [tex3]600.[/tex3] calcule o [tex3]\text{mdc}[/tex3] dos números.

2) O mmc de dois números é [tex3]600,[/tex3] a soma dos quocientes das divisões dos números, pelo seu [tex3]\text{mdc}[/tex3] é [tex3]8.[/tex3] Calcule o menor número.

3) A soma de dois números é [tex3]60[/tex3] e o [tex3]\text{mmc}[/tex3] [tex3]72.[/tex3] Calcule o menor
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Paulo Testoni
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Thales Gheós
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Jan 2007 27 19:36

Re: MMC e MDC

Mensagem não lidapor Thales Gheós » Sáb 27 Jan, 2007 19:36

Mensagem não lida por Thales Gheós »

1) A soma de dois números é [tex3]320[/tex3] e o mmc [tex3]600.[/tex3] calcule o mdc dos números.

Os números devem pertencer ao conjunto dos divisores de [tex3]600:[/tex3]
  • [tex3]D(600)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600\}[/tex3]
e com soma [tex3]320[/tex3] encontramos os pares:
  • [tex3](20,300)\Rightarrow \text{mmc}=300\\
    (120,200)\Rightarrow \text{mmc}=600[/tex3]
    [tex3]\text{mdc}(120,200)=40[/tex3]
3) A soma de dois números é [tex3]60[/tex3] e o [tex3]\text{mmc}[/tex3] [tex3]72.[/tex3] Calcule o menor.
  • [tex3]D(72)=\{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\}[/tex3]

    [tex3](36,24) \Rightarrow \text{soma}=60, \text{mmc}=72[/tex3]
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Re: MMC e MDC

Mensagem não lidapor Thales Gheós » Sáb 27 Jan, 2007 20:51

Mensagem não lida por Thales Gheós »

2) O [tex3]\text{mmc}[/tex3] de dois números é [tex3]600,[/tex3] a soma dos quocientes das divisões dos números, pelo seu [tex3]\text{mdc}[/tex3] é [tex3]8.[/tex3] Calcule o menor número.

Caro Paulo esses exercícios são trabalhosos.

De novo os números são divisores de [tex3]600:[/tex3]
  • [tex3]D(600)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,60,75,100,120,150,200,300,600\}[/tex3]
quando dois números são divididos pelo seu [tex3]\text{mdc}[/tex3] o quociente para cada um é um dos seus fatores primos:
  • [tex3]\frac{N_1}{\text{mdc}}=F_{p1}[/tex3] e [tex3]\frac{N_2}{\text{mdc}}=F_{p2}[/tex3]

    [tex3]\frac{N_1+N_2}{\text{mdc}}=F_{p1}+F_{p2}[/tex3]
[tex3]F_{p1}+F_{p2}=8\Rightarrow[/tex3] os primos que somam [tex3]8[/tex3] são [tex3]3[/tex3] e [tex3]5.[/tex3] Agora é de novo fazer tentativas procurando pares que atendam à  hipótese. Dá prá achar:
  • [tex3]\text \frac{200}{40}=5 e \frac{120}{40}=3[/tex3]
    [tex3]\text \frac{100}{20}=5 e \frac{60}{20}=3[/tex3]
    [tex3]\text \frac{15}{5}=3 e \frac{25}{5}=5[/tex3]
    [tex3]\text \frac{6}{2}=3 e \frac{10}{2}=5[/tex3]
Os números são [tex3]120[/tex3] e [tex3]200[/tex3] o [tex3]\text{mmc}[/tex3] é [tex3]600[/tex3] e o [tex3]\text{mdc}[/tex3] é [tex3]40[/tex3]
Última edição: Thales Gheós (Sáb 27 Jan, 2007 20:51). Total de 1 vez.


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Re: MMC e MDC

Mensagem não lidapor paulo testoni » Sáb 27 Jan, 2007 21:28

Mensagem não lida por paulo testoni »

Caro Thales.

Gostaria de agradecer as suas brilhantes resoluções.
Última edição: paulo testoni (Sáb 27 Jan, 2007 21:28). Total de 1 vez.


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Re: MMC e MDC

Mensagem não lidapor Thales Gheós » Seg 29 Jan, 2007 12:12

Mensagem não lida por Thales Gheós »

Caro Paulo,

sou eu quem deve agradecer a oportunidade do convívio intelectual com pessoas como você.

abraço,
Última edição: Thales Gheós (Seg 29 Jan, 2007 12:12). Total de 1 vez.


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Re: MMC e MDC

Mensagem não lidapor paulo testoni » Ter 30 Jan, 2007 01:49

Mensagem não lida por paulo testoni »

Hola Thales.

Depois de pesquisar num livro bem antigo e respeitando as suas colocações encontrei uma maneira um pouco diferente da sua resolução. veja:

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] os dois números procurados.
  • [tex3]\frac{a}{\text{mdc}} = p,[/tex3] e
    [tex3]\frac{b}{\text{mdc}} = q[/tex3]
Vamos chamar os quocientes de [tex3]p[/tex3] e [tex3]q,[/tex3] é bom lembrar que esses quocientes sempre são primos entre si.

logo: [tex3]p + q = 8,[/tex3] como podemos escrever esse [tex3]8?[/tex3]
[tex3]8 = 3 + 5,[/tex3] note que [tex3]3[/tex3] e [tex3]5[/tex3] são primos entre si, só há essa maneira de escrever.

Fazendo:

[tex3]\frac{600}{3\cdot 5} = 40,[/tex3] esse [tex3]40[/tex3] é o [tex3]\text{mdc}[/tex3] desse dois números [tex3]a[/tex3] e [tex3]b.[/tex3]

Da teoria vem que:
  • [tex3]a = \text{mdc}\cdot p \Longrightarrow a = 40\cdot 3 = 120[/tex3]
  • [tex3]b = \text{mdc}\cdot q \Longrightarrow b = 40\cdot 5 = 200,[/tex3]
portanto o menor dos dois números é: [tex3]120[/tex3]
Última edição: paulo testoni (Ter 30 Jan, 2007 01:49). Total de 1 vez.


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Re: MMC e MDC

Mensagem não lidapor Thales Gheós » Ter 30 Jan, 2007 11:31

Mensagem não lida por Thales Gheós »

Olá Paulo Testoni,
você escreveu:Hola Thales.

Depois de pesquisar num livro bem antigo e respeitando as suas colocações encontrei uma maneira um pouco diferente da sua resolução. veja:
É isso mesmo. Essa é a melhor maneira de encarar a questão. Eu é que "viajei" um pouco, mesmo encontrando a resposta, deveria ter enxergado o bom caminho quando fiz:
[tex3]\frac{N_1+N_2}{MDC}=F_{p1}+F_{p2}[/tex3]
A Aritmética é a parte mais instigante da Matemática e a gente aprende permanentemente.

grande abraço,
Última edição: Thales Gheós (Ter 30 Jan, 2007 11:31). Total de 1 vez.


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