Olimpíadas(MIT - HARVARD) Álgebra

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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juniorcesar
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(MIT - HARVARD) Álgebra

Mensagem não lida por juniorcesar »

Sendo x\cdot y=\frac{\sqrt{x^2+3xy+y^2-2x-2y+4}}{xy+4}, ache o valor de ((...((2007\cdot2006)\cdot2005)\cdot...)\cdot1).
Resposta

\frac{\sqrt{15}}{9}

Última edição: juniorcesar (Dom 23 Mar, 2014 22:43). Total de 2 vezes.



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PedroCunha
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Re: (MIT - HARVARD) Álgebra

Mensagem não lida por PedroCunha »

Olá.

Vamos falar que (2007 * 2006)*2005 \dots * 3 é k. Partindo para o próximo termo, temos k*2. Substituindo na definição de x*y:

k*2 = \frac{\sqrt{k^2+6k+4-2k-4+4}}{2k+4} \therefore k*2 = \frac{\sqrt{(k+2)^2}}{2 \cdot (k+2)} \therefore k*2 = \frac{|k+2|}{2 \cdot (k+2)} \rightarrow k*2 = \frac{1}{2} \forall \,\, k > -2

Logo, a única coisa que precisamos calcular é \frac{1}{2} * 1. Temos então:

\frac{1}{2} * 1 = \frac{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 1 - 1 - 2 + 4}}{\frac{1}{2} + 4} \therefore \frac{1}{2}*1=\frac{\sqrt{\frac{1+6+8}{4}}}{\frac{9}{2}} \therefore \frac{1}{2} * 1 = \frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{9}{2}} \\\\ \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ \frac{\sqrt{15}}{9} }}

Att.,
Pedro

Última edição: PedroCunha (Qua 26 Mar, 2014 12:47). Total de 1 vez.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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Re: (MIT - HARVARD) Álgebra

Mensagem não lida por juniorcesar »

(2007 * 2006)*2005 \dots * 3 de onde veio esse [tex3]*3[/tex3]
Última edição: juniorcesar (Qua 26 Mar, 2014 12:56). Total de 1 vez.



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PedroCunha
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Mar 2014 26 12:58

Re: (MIT - HARVARD) Álgebra

Mensagem não lida por PedroCunha »

É a continuação da sequência. Ela vai até o 1. Veja:

[(2007*2006)*2005]*\dots *[3*(2)]*1

Deu para entender o que eu quis dizer na expressão?

Att.,
Pedro
Última edição: PedroCunha (Qua 26 Mar, 2014 12:58). Total de 1 vez.


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Re: (MIT - HARVARD) Álgebra

Mensagem não lida por juniorcesar »

agora foi ,vlw pedro.




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