1) Quantos números de três algarismos ímpares distintos são divisíveis por 3?
Gabarito: 24
Concursos Públicos ⇒ Divisibilidade
Jan 2007
24
14:54
Divisibilidade
Editado pela última vez por bruno65 em 24 Jan 2007, 14:54, em um total de 1 vez.
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Thales Gheós
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Jan 2007
24
17:11
Re: Divisibilidade
1) Quantos números de três algarismos ímpares distintos são divisíveis por 3?
"Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 3"
um número ímpar é um número da forma [tex3]2n-1[/tex3] e a soma de 3 números ímpares será:
[tex3](2n-1)+(2m-1)+(2k-1)=2n+2m+2k-2-1 => S=2(n+m+k-1)-1[/tex3]
temos então que [tex3]S=2q-1[/tex3] , ou seja: a soma de 3 ímpares é ímpar.
os ímpares de 1 a 9 são [tex3]1, 3, 5, 7, 9[/tex3] que somados 3 a 3 devem ser iguais a 3k (múltiplo de 3):
[tex3]\text 3k pode ser: 3, 9, 15, 21, 27 -> todos impares[/tex3]
temos portanto de encontrar entre os números 1, 3, 5, 7, e 9 grupos de 3 que somem 3, 9, 15, 21, 27,...:
a menor soma é [tex3](1+3+5=9)[/tex3] e a maior é [tex3](9+7+5=21)[/tex3] e ambas satisfazem as condições. Só falta encontrar a soma 15 => [tex3](3+5+7=15)[/tex3] e assim encontramos:
[tex3]135[/tex3] em suas permutações = 6
[tex3]357[/tex3] em suas permutações = 6
[tex3]579[/tex3] em suas permutações = 6
Econtramos assim 18 números. Não acho que podem existir 24 pois não há como produzir somas iguais a 3 ou 27.
"Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 3"
um número ímpar é um número da forma [tex3]2n-1[/tex3] e a soma de 3 números ímpares será:
[tex3](2n-1)+(2m-1)+(2k-1)=2n+2m+2k-2-1 => S=2(n+m+k-1)-1[/tex3]
temos então que [tex3]S=2q-1[/tex3] , ou seja: a soma de 3 ímpares é ímpar.
os ímpares de 1 a 9 são [tex3]1, 3, 5, 7, 9[/tex3] que somados 3 a 3 devem ser iguais a 3k (múltiplo de 3):
[tex3]\text 3k pode ser: 3, 9, 15, 21, 27 -> todos impares[/tex3]
temos portanto de encontrar entre os números 1, 3, 5, 7, e 9 grupos de 3 que somem 3, 9, 15, 21, 27,...:
a menor soma é [tex3](1+3+5=9)[/tex3] e a maior é [tex3](9+7+5=21)[/tex3] e ambas satisfazem as condições. Só falta encontrar a soma 15 => [tex3](3+5+7=15)[/tex3] e assim encontramos:
[tex3]135[/tex3] em suas permutações = 6
[tex3]357[/tex3] em suas permutações = 6
[tex3]579[/tex3] em suas permutações = 6
Econtramos assim 18 números. Não acho que podem existir 24 pois não há como produzir somas iguais a 3 ou 27.
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"Si non e vero, e bene trovato..."
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