Sejam
satisfazendo a condição Vale que é igual a:
a) - 2
b) - 5
c) - 3
d) 1
e) 4
a solução do sistema de equações diferenciáveis:IME / ITA ⇒ (Simulado IME) Sistemas
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2014
23
12:54
(Simulado IME) Sistemas
Última edição: Willm17 (Dom 23 Fev, 2014 12:54). Total de 2 vezes.
"A natureza e as suas leis jaziam na noite escondidas.
Disse Deus “Faça-se Newton” e houve luz nas jazidas."
Disse Deus “Faça-se Newton” e houve luz nas jazidas."
Fev 2014
24
15:16
Re: (Simulado IME) Sistemas
sendo
aplicando transformada de laplace temos:
sendo que
para provar isso, considere a definição da transformada:
portanto obtemos:
reorganizando temos:
tendo:
tendo:
temos que:
fatorando o denominador do que obtemos:
tendo:
no primeiro caso temos (efetuando também uma mudança conveniente das constantes):
no segundo temos (efetuando também outra mudança conveniente de constantes) :
obtemos:
efetuando a transformada inversa temos:
consultando uma tabela de transformadas de laplace para obtemos:
utilizando a propriedade da potenciação e a identidade de Euler temos e mudando as constantes de forma a ficar mais simples, temos:
derivando temos:
substituindo no sistema de equações obtemos:
de onde obtemos:
tendo por fim como solução geral do sistema
como as condições iniciais são [tex3]x(\frac{\pi}{4})=2e^{\frac{\pi}{4}},y(\frac{\pi}{4})=e^{\frac{\pi}{4}}[/tex3]
tendo:
[tex3](\frac{\pi}{4})=e^{\frac{\pi}{4}}[c_1\cos(2\frac{\pi}{4})+c_2\sin(2\frac{\pi}{4})]=e^{\frac{\pi}{4}}[c_1\cos(\frac{\pi}{2})+c_2\sin(\frac{\pi}{2})]=c_2e^{\frac{\pi}{4}}=2e^{\frac{\pi}{4}}\\
c_2=2\\
y(\frac{\pi}{4})=e^{\frac{\pi}{4}}[-c_2\cos(2\frac{\pi}{4})+c_1\sin(2\frac{\pi}{4})]=e^{\frac{\pi}{4}}[-c_2\cos(\frac{\pi}{2})+c_1\sin(\frac{\pi}{2})]=c_1e^{\frac{\pi}{4}}=e^{\frac{\pi}{4}}\\
c_1=1[/tex3]
tendo:
substituindo temos:
efetuando [tex3]4x(0)+3y(0)[/tex3] temos:
a)
a solução do sistema:aplicando transformada de laplace temos:
sendo que
para provar isso, considere a definição da transformada:
portanto obtemos:
reorganizando temos:
tendo:
tendo:
temos que:
fatorando o denominador do que obtemos:
tendo:
no primeiro caso temos (efetuando também uma mudança conveniente das constantes):
no segundo temos (efetuando também outra mudança conveniente de constantes) :
obtemos:
efetuando a transformada inversa temos:
consultando uma tabela de transformadas de laplace para obtemos:
utilizando a propriedade da potenciação e a identidade de Euler temos e mudando as constantes de forma a ficar mais simples, temos:
derivando temos:
substituindo no sistema de equações obtemos:
de onde obtemos:
tendo por fim como solução geral do sistema
como as condições iniciais são [tex3]x(\frac{\pi}{4})=2e^{\frac{\pi}{4}},y(\frac{\pi}{4})=e^{\frac{\pi}{4}}[/tex3]
tendo:
[tex3](\frac{\pi}{4})=e^{\frac{\pi}{4}}[c_1\cos(2\frac{\pi}{4})+c_2\sin(2\frac{\pi}{4})]=e^{\frac{\pi}{4}}[c_1\cos(\frac{\pi}{2})+c_2\sin(\frac{\pi}{2})]=c_2e^{\frac{\pi}{4}}=2e^{\frac{\pi}{4}}\\
c_2=2\\
y(\frac{\pi}{4})=e^{\frac{\pi}{4}}[-c_2\cos(2\frac{\pi}{4})+c_1\sin(2\frac{\pi}{4})]=e^{\frac{\pi}{4}}[-c_2\cos(\frac{\pi}{2})+c_1\sin(\frac{\pi}{2})]=c_1e^{\frac{\pi}{4}}=e^{\frac{\pi}{4}}\\
c_1=1[/tex3]
tendo:
substituindo temos:
efetuando [tex3]4x(0)+3y(0)[/tex3] temos:
a)
Última edição: candre (Seg 24 Fev, 2014 15:16). Total de 2 vezes.
a vida e uma caixinha de surpresas.
-
- Última visita: 31-12-69
Jun 2014
20
02:18
Re: (Simulado IME) Sistemas
Belíssima solução do Candre, vou propor uma outra aqui que não usa a transformada de Laplace:
Sendo
A solução do sistema:
temos de forma matricial que
Existe um teorema (o qual eu não vou provar) que diz:
"Se [tex3]\lambda[/tex3] é um autovalor de A e [tex3]\vec{v}[/tex3] é um autovetor associado ao autovalor [tex3]\lambda[/tex3] , então [tex3]X(t)=e^{\lambda t}\vec{v}[/tex3] é uma solução do sistema [tex3]X'(t)=AX(t)[/tex3] "
vamos encontras os autovalores de :
agora vamos encontrar os auto-vetores associados aos auto-valores:
[tex3](A-\lambda I)\vec{v}=0[/tex3]
para teremos:
o auto valor associado ao auto-vetor é
para :
o auto valor associado ao auto-vetor é
A solução geral do nosso problema é uma combinação linear dessas duas soluções que encontramos:
para :
lembre-se que
e então:
mas então:
Veja que:
pois
logo e então
Um abraço
Sendo
A solução do sistema:
temos de forma matricial que
Existe um teorema (o qual eu não vou provar) que diz:
"Se [tex3]\lambda[/tex3] é um autovalor de A e [tex3]\vec{v}[/tex3] é um autovetor associado ao autovalor [tex3]\lambda[/tex3] , então [tex3]X(t)=e^{\lambda t}\vec{v}[/tex3] é uma solução do sistema [tex3]X'(t)=AX(t)[/tex3] "
vamos encontras os autovalores de :
agora vamos encontrar os auto-vetores associados aos auto-valores:
[tex3](A-\lambda I)\vec{v}=0[/tex3]
para teremos:
o auto valor associado ao auto-vetor é
para :
o auto valor associado ao auto-vetor é
A solução geral do nosso problema é uma combinação linear dessas duas soluções que encontramos:
para :
lembre-se que
e então:
mas então:
Veja que:
pois
logo e então
Um abraço
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 20 Jun, 2014 02:18). Total de 1 vez.
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