Ensino Médio ⇒ Razões Trigonométricas

[guilmarangon]

[tex3]\frac{sen^{3}10+cos^{3}20}{sen10+cos20}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{sen^{3}10+cos^{3}20}{sen10+cos20}[/tex3]

Sugestão do exercício: Multiplique e divida a expressão por 4

Resposta

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[tex3]\frac{3}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{4}[/tex3]

[Juniorhw]

Vamos desenvolver os cubos dos senos e cossenos, a fim de retirar as suas potências (obviamente é muito mais rápido ter em mente as seguintes relações, mas vamos demonstrá-las):

Código: Selecionar tudo

[tex3]\cos^3x=\cos x\cdot \cos x \cdot \cos x\\\\\cos^3x=\frac{2}{2}\cdot\cos x\cdot \cos x \cdot \cos x\\\\\cos^3x=\left[2\cdot \cos\left(\frac{2x+0}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{2x-0}{2}\right)\right]\cdot\frac{\cos x}
{2}\\\\\cos^3x=\left[\cos(2x)+\cos(0)\right]\cdot \frac{\cos x}{2}\\\\\cos^3x=\left[\cos(2x)+1\right] \cdot \frac{\cos x}{2}\\\\\cos^3x=\frac{2\left[\cos(2x)\cdot \cos x+\cos x\right]}{4}\\\\\cos^3x=\frac{2\cos \left(\frac{3x+x}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{3x-x}{2}\right)+2\cos x }{4}\\\\\cos^3x=\frac{\cos (3x)+\cos x+2cos x}{4}=\boxed{\frac{\cos(3x)+3 \cos x}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]\sin^3x=\sin x\cdot \sin x \cdot \sin x\\\\\sin^3x=\frac{-2}{-2}\cdot\sin x\cdot \sin x \cdot \sin x\\\\\sin^3x=\left[-2\cdot \sin\left(\frac{2x+0}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{2x-0}{2}\right)\right]\cdot\frac{\sin x}{-2}\\\\\sin^3x=\left[\cos(2x)-\cos(0)\right]\cdot \frac{\sin x}{-2}\\\\\sin^3x=\left[1-\cos(2x)\right] \cdot \frac{\sin x}{2}\\\\\sin^3x=\frac{2\left[\sin x- \cos(2x)\cdot \sin x\right]}{4}\\\\\sin^3x=\frac{2\sin x-2\cos \left(\frac{3x+x}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{3x-x}{2}\right)}{4}\\\\\sin^3x=\frac{2\sin x-(\sin3x-\sin x)}{4}=\boxed{\frac{3\sin x-\sin(3x)}{4}}[/tex3]

Nas duas usamos Prostaférese para transformar o produto em soma.

Então podemos substituir:

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{\sin^{3}10^\circ+\cos^{3}20^\circ}{\sin10^\circ+\cos20^\circ}=\\\\\\\frac{\frac{3\sin 10^\circ-\sin(30^\circ)}{4}+\frac{\cos(60^\circ)+3 \cos 20^\circ}{4}}{\sin10^\circ+\cos20^\circ}=\\\\\\\frac{3\sin 10^\circ-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+3\cos 20^\circ}{4\left(\sin10^\circ+\cos 20^\circ\right)}=\\\\\\\frac{3\cancel{\left(\sin 10^\circ+\cos 20^\circ\right)}}{4\cancel{\left(\sin10^\circ+\cos 20^\circ\right)}}=\boxed{\boxed{\frac{3}{4}}}[/tex3]

Qualquer dúvida pergunte,

Abraço.