Ensino Fundamental

Se $A, B$ e $C$ são reais tais que $A+B+C=3$ , $A^2+B^2+C^2=13$ e $A^3+B^3+C^3=27$ .Determine $A^4+B^4+B^4$

Resposta

89

Mensagem não lidapor **jedi** » Sex 14 Fev, 2014 01:12 · Mensagem não lida por **jedi** » Sex 14 Fev, 2014 01:12

$A+B+C=3$

$(A+B+C)^2=3^2$

$A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=9$

$13+2(AB+AC+BC)=9$

$AB+AC+BC=-2$

$(A+B+C)^3=3^3$

$A^3+B^3+C^3+3.AB^2+3.AC^2+3.BA^2+3.BC^2+3.C^2A+3.C^2B+6ABC=27$

$27+3(A+B+C)(AB+AC+BC)-3.ABC=27$

$3.3.(-2)-3.ABC=0$

$ABC=-6$

$(AB+AC+BC)^2=(-2)^2$

$A^2B^2+A^2C^2+B^2C^2+2.A^2BC+2.AB^2C+2.ABC^2=4$

$A^2B^2+A^2C^2+B^2C^2+2.ABC.(A+B+C)=4$

$A^2B^2+A^2C^2+B^2C^2+2.(-6).3=4$

$A^2B^2+A^2C^2+B^2C^2=40$

$(A^2+B^2+C^2)^2=13^2$

$A^4+B^4+C^4+2A^2B^2+2A^2C^2+2B^2C^2=169$

$A^4+B^4+C^4+2(A^2B^2+A^2C^2+B^2C^2)=169$

$A^4+B^4+C^4+2.40=169$

$A^4+B^4+C^4=89$

Por que $AB+AC+BC=-2$ ?

Mensagem não lidapor **jedi** » Sáb 15 Fev, 2014 09:30 · Mensagem não lida por **jedi** » Sáb 15 Fev, 2014 09:30

partindo da equação anterior a ela

$13+2(AB+AC+BC)=9$

$2(AB+AC+BC)=9-13$

$2(AB+AC+BC)=-4$

$(AB+AC+BC)=\frac{-4}{2}$

$AB+AC+BC=-2$

Olá à todos,

Das somas de newton :
$\small S_n=x^n+y^n+z^n=(x+y+z)\cdot S_{n-1} -(xy+yz+xz)\cdot S_{n-2}+xyz\cdot S_{n-3}=\sigma_1\cdot S_{n-1} -\sigma_2\cdot S_{n-2}+\sigma_3\cdot S_{n-3}$

$S_{-1}=\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{\sigma_2}{\sigma_3}\\S_0=3\\S_1=\sigma_1=3\\S_2=\sigma_1\cdot S_{2-1} -\sigma_2\cdot S_{2-2}+\sigma_3\cdot S_{2-3}=\boxed{3\sigma_1-2\sigma_2=13}\\S_3=\sigma_1S_{3-1}-{\sigma_2\cdot S_{3-2}+\sigma_3\cdot} S_{3-3}=\boxed{13\sigma_1-3\sigma_2+3\sigma_3=27}\\S_4=\sigma_1S_{4-1}-\sigma_2\cdot S_{4-2}+\sigma_3\cdot S_{4-3}=\boxed{27\sigma_1-13\sigma_2+3\sigma_3}$

Das equações temos que :
$3\sigma_1-2\sigma_2=3\cdot3-2\sigma_2=13 \implies \sigma_2=-2$
$13\sigma_1-3\sigma_2+3\sigma_3=3\cdot3-3\cdot(-2)+3\sigma_3 =27 \implies \sigma_3=6$
$\therefore \ S_4= x^4+y^4+z^4 = 27\sigma_1-13\sigma_2+3\sigma_3=27\cdot3-13\cdot(-2)+3\cdot6=89$

Abraço.

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