Pré-Vestibular ⇒ (Consart) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALANSILVA]

O ponto O é o centro do círculo ACBD e extremidade das semicircunferências OA e OB da figura. A reta que contém O e divide a região tracejada em duas partes de mesma área faz com OA um ângulo. Determine esse ângulo em graus.

Circulo.jpg (14.73 KiB) Exibido 1310 vezes

a) 36°
b) 45°
c) 52° 30'
d) 60°
e) 75°

Resposta

---

Gabarito: B

[ALANSILVA]

Alguém sabe resolver?

[manerinhu]

vou ter dar o guia pra solução

chame OA de R
ai vc vai ter uma área de semicirculo de R/2 (OA) + área de setor circular de angulo alfa de uma circunferencia de raio R
por outro lado, vc vai ter, no outro pedaço, que a área é igual a metade de circulo de raio R menos um semi circulo de raio R/2 menos área do setor circular de angulo alfa
basta igualar e isolar alfa
vai chegar em 45º

[ALANSILVA]

OK.
Vou tentar fazer....

[ALANSILVA]

manerinhu
Muito obrigado, conseguir fazer

[theblackmamba]

Olá ALANSILVA,
Poderia postar sua solução ?
Abraço

[ALANSILVA]

Sim
Solução

Chamei cada parte da área hachurada de I e II
Como Manerinhu, explicou bem, fica assim:
[tex3]A_{I}=\frac{\pi \left(\frac{R}{2}\right)^{2}}{2} + \frac{\alpha\pi R^2}{360}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{I}=\frac{\pi \left(\frac{R}{2}\right)^{2}}{2} + \frac{\alpha\pi R^2}{360}[/tex3]

[tex3]A_{I}=\frac{\pi R^2}{8} + \frac{\alpha\pi R^2}{360}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{I}=\frac{\pi R^2}{8} + \frac{\alpha\pi R^2}{360}[/tex3]

Simplificando, fica:

[tex3]A_{I}=\frac{45\pi R^2 + \alpha \pi R^2}{360}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{I}=\frac{45\pi R^2 + \alpha \pi R^2}{360}[/tex3]

[tex3]A_{II}=\frac{\pi R^2}{2} - \frac{\alpha \pi R^2}{360} - \frac{\pi R^2}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{II}=\frac{\pi R^2}{2} - \frac{\alpha \pi R^2}{360} - \frac{\pi R^2}{8}[/tex3]

Simplificando, fica:
[tex3]A_{II}=\frac{135 \pi R^2- \alpha\pi R^2}{360}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{II}=\frac{135 \pi R^2- \alpha\pi R^2}{360}[/tex3]

Como o enunciado fala em partes de mesma área, tem-se:

[tex3]A_{I}=A_{II}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{I}=A_{II}[/tex3]

[tex3]\frac{45\pi R^2 + \alpha \pi R^2}{360}=\frac{135 \pi R^2- \alpha\pi R^2}{360}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{45\pi R^2 + \alpha \pi R^2}{360}=\frac{135 \pi R^2- \alpha\pi R^2}{360}[/tex3]

Resolvendo essa igualdade encontra-se [tex3]\boxed{\alpha=45^{\circ}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\alpha=45^{\circ}}[/tex3]

[Birnebaum]

2.png (46.14 KiB) Exibido 1276 vezes

[tex3]S_1=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_1=[/tex3]

área de um semicírculo de raio [tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

mais a área de um setor circular de raio [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

e ângulo [tex3]\hat{a}[/tex3]

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[tex3]\hat{a}[/tex3]

[tex3]S_2=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_2=[/tex3]

área de um semicírculo de raio [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

menos a área de um semicírculo de raio [tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R}{2}[/tex3]

menos a área de um setor circular de ângulo [tex3]\hat{a}[/tex3]

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[tex3]\hat{a}[/tex3]

e raio [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

.

[tex3]S_1=S_2\,\,\Rightarrow\,\,\hat{a}=\frac{\pi}{4}\,\,\Rightarrow\,\,\hat{a}=45^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_1=S_2\,\,\Rightarrow\,\,\hat{a}=\frac{\pi}{4}\,\,\Rightarrow\,\,\hat{a}=45^{\circ}[/tex3]

Bb