Ensino Médio ⇒ Factorização de Polinómios

[Cientista]

Factorize o seguinte Polinómio:

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[tex3]C(x)=\frac{1}{27}+x^{3}[/tex3]

.

Resposta

---

(1/3+x)(1/9-1/3-x+x²)

[csmarcelo]

Produto de Warring (produto notável): [tex3](a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3[/tex3]

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[tex3](a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3[/tex3]

[tex3]C(x)=\frac{1}{27}+x^{3}
\\C(x)=\frac{1}{3^{3}}+x^{3}
\\C(x)=(\frac{1}{3})^{3}+x^{3}\rightarrow a=\frac{1}{3}\text{, }b=x
\\C(x)=(\frac{1}{3}+x)((\frac{1}{3})^2-(\frac{1}{3}*x)+x^2)
\\C(x)=(\frac{1}{3}+x)(\frac{1}{9}-\frac{x}{3}+x^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C(x)=\frac{1}{27}+x^{3}
\\C(x)=\frac{1}{3^{3}}+x^{3}
\\C(x)=(\frac{1}{3})^{3}+x^{3}\rightarrow a=\frac{1}{3}\text{, }b=x
\\C(x)=(\frac{1}{3}+x)((\frac{1}{3})^2-(\frac{1}{3}*x)+x^2)
\\C(x)=(\frac{1}{3}+x)(\frac{1}{9}-\frac{x}{3}+x^2)[/tex3]

[Cientista]

É isso mesmo! Valeu! Só uma coisa, existe uma forma de chegar a essa fórmula? Por exemplo (a+b)²= (a+b).(a+b)= a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b, repara que nesse produto basta nós desenvolvermos que chegaremos nessa partinha meio longa(a²+ab+ab+b²), agora na parte de a³-b³ não existe uma forma por exemplo desse genéro (a+b).(a-b).(a+b) demodo que desenvolvamos e cheguemos em (a-b).(a²+ab+b²)?

[csmarcelo]

Cientista,

Não, não há como colocar [tex3](a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)[/tex3]

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[tex3](a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)[/tex3]

na forma de fatores binomiais. O "máximo" que dá para fazer é [tex3](a\pm b)((a\mp b)^{2}\pm ab)[/tex3]

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[tex3](a\pm b)((a\mp b)^{2}\pm ab)[/tex3]

.

[jrneliodias]

Olá, Pessoal.

Podemos usar o seguinte método. Partindo da validade da seguinte equivalência:

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[tex3](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex3]

Podemos afirmar que:

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[tex3]a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2[/tex3]

Colocando

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[tex3]-3ab[/tex3]

em evidência:

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[tex3]a^3+b^3=(a+b)^3-3ab\,(a+b)[/tex3]

Analogamente,

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[tex3]a^3+b^3=(a+b)\,[\,(a+b)^2-3ab\,][/tex3]

Portanto,

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[tex3]\boxed{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}[/tex3]

O mesmo acontece para

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[tex3]a^3-b^3[/tex3]

.

Espero ter ajudado, abraço.

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[tex3][/tex3]