Ensino Médio

Sendo $a,b,r$ números reais, calcula o seu valor de modo que:
$x^{2}-3x+2=(ax+b).(x-2)+r$

Resposta

a=1;b=-1 e r=0

$ax^{2}-a(x_1+x_2)x+a(x_1x_2)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Analisando o membro da esquerda da igualdade acima e a expressão $x^{2}-3x+2$ , temos que $a=1$ e, portanto, $a(x_1+x_2)=x_1+x_2=3\text{ }(I)$ e $a(x_1x_2)=x_1x_2=2\text{ }(II)$ .
Analisando o membro da direita da igualdade acima e a expressão $(ax+b)(x-2)+r$ , temos que $x_1=-b$ , $x_2=2$ e $r=0$ .

Substituindo $x_1$ e $x_2$ em $(I)$ :

$-b+2=3 \\-b=1 \\b=-1$

Substituindo $x_1$ e $x_2$ em $(II)$ (é desnecessário realizar as duas substituições):

$-2b=2 \\b=-1$

Olá Csmarcelo,
Uma outra forma de resolvermos esse Exercicío é com base num conceito fundamental, repara que: "Para que dois polinômios sejam idênticos, obrigatoriamente, todos seus coeficientes devem ser iguais" então peguemos a seguinte expressão e desenvolvemos caíremos em:
$ax^{2}-(2a-b).x-2b+r$ repara que podemos fazer uma relação com a expressão $x^{2}-3x+2$ usando o nosso conceito fundamental: "Para que dois polinômios sejam idênticos, obrigatoriamente, todos seus coeficientes devem ser iguais" pois ao desenvolvermos podemos constuir ele de modo que fique como uma Equação do tipo $ax^{2}+bx+c=0$ de modo que a relação seja sustentável, então façamos o seguinte:
$a=a'$
$b='b$
$c=c'$ Onde os do lado esquerdo representam os coeficientes do Polinómio e os do lado direto os coeficiente da Equação Quadrática.
É fácil ver que $a=1$ e que $-2a+b=-3$ uma vez que $a=1$ logo $b=-1$ e que $-2b+r=2$ uma vez que $b=-1$ então $r=0$ , esse conceito podemos usar em qualquer situação que pedem para calcular determinadas incógnitas de modo que uma expressão seja idêntica a outra. Valeu pela Resolução cara

Excelente sistemática de resolução.

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