Ensino Médio

Resolva a equação (Não sei escrever,eu tentei e ficou assim: [tex3](0,4)^{\log ^2(x+1)}\,=\,(6,25)^{2-\log x^3}[/tex3]

O cara para montar escreveu [tex3](\frac{2}{5})[/tex3] elevado a log²x+1 = [tex3](\frac {5}{2})^2[/tex3] elevado a 2-log x³

Eu montei usando [tex3]\frac{10}{25}[/tex3] elevado a log²x+1 = [tex3]\frac{25^2}{10}[/tex3] elevado a 2-log x³

É a mesma coisa,mas a resolução ficou diferente.(Eu tambén não entendi a resolução original)
Alguém poderia resolver passo a passo para mim utilizando as bases da forma que eu usei?

Olá, Bruno.

Você errou na sua resolução, pois $6,25=\frac{(25)^2}{100}$ .

Abraço.

jrneliodias escreveu:Olá, Bruno.

Você errou na sua resolução, pois $6,25=\frac{(25)^2}{100}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]6,25=\frac{(25)^2}{100}[/tex3]

.

Abraço.

Não errei não,está escrito ali.

E eu não resolvi,só montei.Queria saber como resolver...

Acho que há algum erro de digitação, pois dá uma equação estranha.

Mensagem não lidapor **caju** » Qua 27 Nov, 2013 12:29 · Mensagem não lida por **caju** » Qua 27 Nov, 2013 12:29

Olá jrneliodias,

Acho que a equação correta seria $(0,4)^{\log ^2x+1}\,=\,(6,25)^{2-\log x^3}$ . Ou seja, o +1 do expoente do lado esquerdo da equação não está dentro do logaritmo.

Tirei esta conclusão olhando a resolução que o brunoafa apresentou.

Será que agora você consegue postar a resolução?

Grande abraço,
Prof. Caju

Obrigado, professor.

Então vamos lá. Sabemos que $6,25=\frac{25}{4}=\frac{5^2}{2^2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$ . Substituindo na equação, teremos:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\log ^2x+1}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2\,(2-\log x^3)$

Quando possuímos duas potências de mesma base iguais, obrigatoriamente seus expoentes também o serão. Assim:

$\log ^2x+1=2\log x^3-4$

Lembrando que $log a^b=b\cdot \log a$ , ou seja, $\log x^3=3\log x$ e fazendo $\log x= u$ . obteremos:

$u^2-6u+5=0$

Um meio de resolução de equações do segundo grau é pela fatoração, onde colocaremos a equação na forma de $a\cdot b=0$ . Desta forma, percebemos que para um produto ser nulo, pelo menos um de seus termos deve ser. Logo, escrevendo $-6u$ como $-u-5u$ , encotraremos uma fatoração:

$u^2-u-5u+5=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,u(u-1)-5(u-1)=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(u-1)(u-5)=0$

$u-1=0\,\,\,\,ou\,\,\,\,u-5=0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,u=1\,\,\,ou\,\,\,u=5$

Resubstituindo e aplicando a definição de logaritmos, teremos:

$\log x=1\,\,\,\,ou\,\,\,\log x=5\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{x=10\,\,\,ou\,\,\,x=10^5}$

Espero ter ajudado, abraço.

jrneliodias escreveu:Obrigado, professor.

Então vamos lá. Sabemos que $6,25=\frac{25}{4}=\frac{5^2}{2^2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]6,25=\frac{25}{4}=\frac{5^2}{2^2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}[/tex3]

. Substituindo na equação, teremos:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\log ^2x+1}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2\,(2-\log x^3)$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\left(\frac{2}{5}\right)^{\log ^2x+1}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-2\,(2-\log x^3)[/tex3]

Quando possuímos duas potências de mesma base iguais, obrigatoriamente seus expoentes também o serão. Assim:

$\log ^2x+1=2\log x^3-4$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\log ^2x+1=2\log x^3-4[/tex3]

Lembrando que $log a^b=b\cdot \log a$

Código: Selecionar tudo

[tex3]log a^b=b\cdot \log a[/tex3]

, ou seja, $\log x^3=3\log x$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\log x^3=3\log x[/tex3]

e fazendo $\log x= u$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\log x= u[/tex3]

. obteremos:

$u^2-6u+5=0$

Código: Selecionar tudo

[tex3]u^2-6u+5=0[/tex3]

Um meio de resolução de equações do segundo grau é pela fatoração, onde colocaremos a equação na forma de $a\cdot b=0$

Código: Selecionar tudo

[tex3]a\cdot b=0[/tex3]

. Desta forma, percebemos que para um produto ser nulo, pelo menos um de seus termos deve ser. Logo, escrevendo $-6u$

Código: Selecionar tudo

[tex3]-6u[/tex3]

como $-u-5u$

Código: Selecionar tudo

[tex3]-u-5u[/tex3]

, encotraremos uma fatoração:

$u^2-u-5u+5=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,u(u-1)-5(u-1)=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(u-1)(u-5)=0$

Código: Selecionar tudo

[tex3]u^2-u-5u+5=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,u(u-1)-5(u-1)=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(u-1)(u-5)=0[/tex3]

$u-1=0\,\,\,\,ou\,\,\,\,u-5=0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,u=1\,\,\,ou\,\,\,u=5$

Código: Selecionar tudo

[tex3]u-1=0\,\,\,\,ou\,\,\,\,u-5=0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,u=1\,\,\,ou\,\,\,u=5[/tex3]

Resubstituindo e aplicando a definição de logaritmos, teremos:

$\log x=1\,\,\,\,ou\,\,\,\log x=5\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{x=10\,\,\,ou\,\,\,x=10^5}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\log x=1\,\,\,\,ou\,\,\,\log x=5\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{x=10\,\,\,ou\,\,\,x=10^5}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

Pô cara,valeu.Deu certinho! Não li com calma ainda mas bateu com o gabarito.

Eu fui fazer usando o 25/4 mas não percebi que é a mesma coisa que o cara usou [tex3]\frac{5^2}{2^2}[/tex3] ele só não especificou.

Vou dar uma olhada com mais calma depois e qualquer coisa eu pergunto,mas a resposta esta certa.

caju escreveu:Olá jrneliodias,

Acho que a equação correta seria $(0,4)^{\log ^2x+1}\,=\,(6,25)^{2-\log x^3}$

Código: Selecionar tudo

[tex3](0,4)^{\log ^2x+1}\,=\,(6,25)^{2-\log x^3}[/tex3]

. Ou seja, o +1 do expoente do lado esquerdo da equação não está dentro do logaritmo.

Tirei esta conclusão olhando a resolução que o brunoafa apresentou.

Será que agora você consegue postar a resolução?

Grande abraço,
Prof. Caju

Fiquei um tempão tentando escrever essa equação certo mas não manjo muito desses código latex kkk

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