Concursos Públicos(CEPERJ) Expressão

Este é o fórum para postagem de problemas cobrados em Concursos Públicos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
fernandocez
Junior
Mensagens: 14
Registrado em: Dom 17 Nov, 2013 10:35
Última visita: 23-01-14
Nov 2013 18 11:09

(CEPERJ) Expressão

Mensagem não lida por fernandocez »

A expressão [tex3]\sqrt{24 + 8\sqrt{5}}-\sqrt{24 - 8\sqrt{5}}[/tex3] é equivalente ao seguinte número:
a) 0
b) 2
c) 4
d) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
e) 8 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
Resposta

letra C

Última edição: fernandocez (Seg 18 Nov, 2013 11:09). Total de 2 vezes.



Avatar do usuário
PedroCunha
5 - Mestre
Mensagens: 2652
Registrado em: Seg 25 Fev, 2013 22:47
Última visita: 01-04-21
Localização: Viçosa - MG
Nov 2013 18 11:32

Re: (CEPERJ) Expressão

Mensagem não lida por PedroCunha »

Veja:

Elevando tudo ao quadrado, temos: (Vou chamar a expressão de S):

S = \sqrt{24 + 8\sqrt{5}}-\sqrt{24 - 8\sqrt{5}} \therefore S^2 = (\sqrt{24 + 8\sqrt{5}}-\sqrt{24 - 8\sqrt{5}})^2 \therefore \\\\ S^2 = 24 + 8\sqrt5 - 2 \cdot \sqrt{24 + 8\sqrt{5}} \cdot \sqrt{24 - 8\sqrt{5}} + 24 - 8\sqrt5 \therefore \\\\ S^2 = 48 -2 \cdot \sqrt{ (24+8\sqrt5) \cdot (24 -8\sqrt5)} \therefore S^2 = 48 - 2 \cdot \sqrt{256} \therefore S^2 = 48 - 32 \therefore S^2 = 16 \therefore \boxed{S = \pm 4}

Como \sqrt{24 + 8\sqrt{5}} é maior que \sqrt{24 - 8\sqrt{5}}, ficamos com a resposta positiva:\boxed{\boxed{S = 4}}.

É isso.

Att.,
Pedro

Última edição: PedroCunha (Seg 18 Nov, 2013 11:32). Total de 1 vez.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

Avatar do usuário
jrneliodias
5 - Mestre
Mensagens: 2578
Registrado em: Sáb 16 Jun, 2012 17:15
Última visita: 23-05-22
Localização: Belém - PA
Nov 2013 18 11:42

Re: (CEPERJ) Expressão

Mensagem não lida por jrneliodias »

Olá, Fernando.

Suplementando a ótima explicação de Pedro, é interessante notar que 24+8\sqrt{5} e 24-8\sqrt{5} são quadrados perfeitos. Veja:

24+8\sqrt{5}\,\,=\,\,4+2\cdot 2\cdot 2\sqrt{5}+20

Fazendo a=2 e b=2\sqrt{5} temos:

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,(2+2\sqrt{5})^2

Analogamente:

24-8\sqrt{5}=(2-2\sqrt{5})^2

Portanto:

\sqrt{24 + 8\sqrt{5}}-\sqrt{24 - 8\sqrt{5}}\,\,=\,\,\sqrt{(2+2\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-2\sqrt{5})^2}\,\,=

\left|\,2+2\sqrt{5}\,\right|-\left|\,2-2\sqrt{5}\,\right|

Importante notar que 2-2\sqrt{5}<0, logo \left|\,2-2\sqrt{5}\,\right|=-2+2\sqrt{5}. Assim,

2+2\sqrt{5}-(2\sqrt{5}-2)=4

Espero ter ajudado, abraço.
Última edição: jrneliodias (Seg 18 Nov, 2013 11:42). Total de 1 vez.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

Avatar do usuário
PedroCunha
5 - Mestre
Mensagens: 2652
Registrado em: Seg 25 Fev, 2013 22:47
Última visita: 01-04-21
Localização: Viçosa - MG
Nov 2013 18 12:12

Re: (CEPERJ) Expressão

Mensagem não lida por PedroCunha »

Excelente, Nélio!

Uma mente privilegiada.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

Avatar do usuário
Autor do Tópico
fernandocez
Junior
Mensagens: 14
Registrado em: Dom 17 Nov, 2013 10:35
Última visita: 23-01-14
Nov 2013 21 09:24

Re: (CEPERJ) Expressão

Mensagem não lida por fernandocez »

Obrigado a todos. Me ajudaram muito.



Avatar do usuário
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2349
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 27-03-24
Dez 2013 24 17:57

Re: (CEPERJ) Expressão

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Nossos amigos Pedro e Nélio já responderam muito bem, porém acrescentarei uma outra forma de resolução:

[tex3]\sqrt{24+8\sqrt{5}} - \sqrt{24-8\sqrt{5}}[/tex3] =

colocaremos o 8 dentro da raiz:

[tex3]\sqrt{24+\sqrt{320}} - \sqrt{24-\sqrt{320}}[/tex3] =

Transformaremos em uma conta algébrica simples:

[tex3]c^{2} = 24^{2}[/tex3] - 320 =

c = 16

Agora temos:

[tex3]\sqrt{24+\sqrt{320}} = \sqrt{\frac{24+16}{2}} + \sqrt{\frac{24-16}{2}}[/tex3] =

[tex3]\sqrt{20} +2[/tex3]

o outro fator:

[tex3]\sqrt{24-\sqrt{320}} = \sqrt{20} -2[/tex3]

voltando à equação original:

[tex3]\sqrt{24+8\sqrt{5}} - \sqrt{24-8\sqrt{5}}[/tex3] =


[tex3]\sqrt{20} +2[/tex3] - [tex3](\sqrt{20} -2)[/tex3] =

[tex3]\sqrt{20} +2[/tex3] - [tex3]\sqrt{20}[/tex3] + 2 =

4



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Concursos Públicos”