Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial

[Barhbara]

Uma pirâmide hexagonal regular de altura 12 cm e aresta da base igual a 4 cm é seccionada por um plano paralelo à base e distante 6 cm do vértice, obtendo-se um tronco de pirâmide (T1) e uma pirâmide (P1). A razão entre o volume de T1 e o volume de P1 é

A) 8
B) 7
C) 7/8
D) 2/3
E) 1/7

[adrianotavares]

Olá,Barhbara.

Pirâmide.png (2.76 KiB) Exibido 6993 vezes

Sendo as duas pirâmides semelhantes podemos escrever:

[tex3]\frac{v}{V}=\(\frac{6}{12}\)^3 \Rightarrow v=\frac{V}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{v}{V}=\(\frac{6}{12}\)^3 \Rightarrow v=\frac{V}{8}[/tex3]

[tex3]V_{T1}=V-\frac{V}{8}\Rightarrow V_{T1}=\frac{7V}{8}[/tex3]

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[tex3]V_{T1}=V-\frac{V}{8}\Rightarrow V_{T1}=\frac{7V}{8}[/tex3]

Logo, teremos:

[tex3]\frac{V_{T1}}{P1}=7[/tex3]

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[tex3]\frac{V_{T1}}{P1}=7[/tex3]

Alternativa:B

[olgario]

Oi Barhbara !
Apesar de o problema já estar resolvido, por uma mente pragmática como a do adrianotavares; dado que eu já tinha começado por me dar ao trabalho de o resolver como eu sabia, resolvi posta-lo. Além do mais, serve também para você constatar, a dificuldade dos problemas quando não há formas mais práticas de os resolver, e como o pragmatismo é benéfico nesses casos.

Volume da pirâmide dada ou pirâmide Grande: [tex3]V=\frac{A_B\times h}{3}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{A_B\times h}{3}[/tex3]

Então para achar o Volume precisamos achar a base.

[tex3]A_B=\frac{3L^2\sqrt{3}{2}\,\rightarrow\,A_B=\frac{3\cdot 4^2\sqrt{3}}{2}\,}{2}\,\rightarrow\,A_B=\frac{48\sqrt{3}}{2}\,\rightarrow\,\boxed{A_B=24\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]A_B=\frac{3L^2\sqrt{3}{2}\,\rightarrow\,A_B=\frac{3\cdot 4^2\sqrt{3}}{2}\,}{2}\,\rightarrow\,A_B=\frac{48\sqrt{3}}{2}\,\rightarrow\,\boxed{A_B=24\sqrt{3}}[/tex3]

Volume da Pirâmide dada ou Grande: [tex3]V=\frac{A_B\times h}{3}\rightarrow\,V=\frac{24\sqrt{3}\times12}{3}\,\rightarrow\,V=\frac{288\sqrt{3}}{3}\,\rightarrow\,\boxed{V=96\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{A_B\times h}{3}\rightarrow\,V=\frac{24\sqrt{3}\times12}{3}\,\rightarrow\,V=\frac{288\sqrt{3}}{3}\,\rightarrow\,\boxed{V=96\sqrt{3}}[/tex3]

.

Vamos agora achar o Volume da pirâmide pequena que resultou do truncamento da Pirâmide dada ou Grande.
E aqui, podemos faze-lo de 2 formas, pela fórmula normal,ou estabelecendo uma relação:

Se sabendo que: [tex3]\boxed{\frac{A_B}{A_b}=\frac{H^2}{h^2}}\;\rightarrow\;\frac{24\sqrt{3}}{A_b}=\frac{12^2}{6^2}\;\rightarrow\;\frac{24\sqrt{3}}{A_b}=\frac{144}{36}\;\rightarrow\; A_b=\frac{24\sqrt{3}\times 36}{144}\;\rightarrow\;[/tex3]

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[tex3]\boxed{\frac{A_B}{A_b}=\frac{H^2}{h^2}}\;\rightarrow\;\frac{24\sqrt{3}}{A_b}=\frac{12^2}{6^2}\;\rightarrow\;\frac{24\sqrt{3}}{A_b}=\frac{144}{36}\;\rightarrow\; A_b=\frac{24\sqrt{3}\times 36}{144}\;\rightarrow\;[/tex3]

[tex3]\rightarrow\;A_b=\frac{864\sqrt{3}}{144}\;\rightarrow\,\boxed{A_b=6\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow\;A_b=\frac{864\sqrt{3}}{144}\;\rightarrow\,\boxed{A_b=6\sqrt{3}}[/tex3]

1ª Forma:__ Volume pela fórmula normal.
Volume da pirâmide pequena: [tex3]V_p=\frac{A_b\times h}{3}=\frac{\;\boxed{6\sqrt{3}}}\times 6\;}{3}={\frac{36\sqrt{3}}{3}=\boxed{\boxed{12\sqrt{3}}}[/tex3]

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[tex3]V_p=\frac{A_b\times h}{3}=\frac{\;\boxed{6\sqrt{3}}}\times 6\;}{3}={\frac{36\sqrt{3}}{3}=\boxed{\boxed{12\sqrt{3}}}[/tex3]

Ou outa forma mais direta seria pela seguinte relação: [tex3]\boxed{\frac{V_{Grande}}{V_{pequena}}=\frac{H^3}{h^3}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\frac{V_{Grande}}{V_{pequena}}=\frac{H^3}{h^3}}[/tex3]

2ª Forma:__ Volume aplicando a relação da caixa acima

[tex3]\frac{\boxed{96\sqrt{3}}}{V_{pequena}}=\frac{12^2}{6^2}\,\longrightarrow\,\frac{96\sqrt{3}}{V_{pequena}}=\frac{1728}{216}\;\longrightarrow\;V_{pequena}=\frac{96\cdot \sqrt{3}\times216}{1728}\,=\;\boxed{\boxed{12\sqrt{3}}}\,=\,(P_1)[/tex3].

Achemos agora o Volume do tronco de Pirâmide dada:

[tex3](A_b=[/tex3]

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[tex3](A_b=[/tex3]

Área da base da pirâmide pequena)
[tex3](A_B=[/tex3]

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[tex3](A_B=[/tex3]

Área da base da pirâmide maior)

[tex3]\boxed{V_{tronco}=\frac{h_{t}}{3}\cdot (A_b+\sqrt{A_b\cdot A_{B}}\;\,+A_{B})}[/tex3]

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[tex3]\boxed{V_{tronco}=\frac{h_{t}}{3}\cdot (A_b+\sqrt{A_b\cdot A_{B}}\;\,+A_{B})}[/tex3]

[tex3]\frac{6}{3}\cdot \left(6\sqrt{3}+\sqrt{6\cdot \sqrt{3}\cdot 24\sqrt{3}}+24\sqrt{3}\right)[/tex3]

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[tex3]\frac{6}{3}\cdot \left(6\sqrt{3}+\sqrt{6\cdot \sqrt{3}\cdot 24\sqrt{3}}+24\sqrt{3}\right)[/tex3]

[tex3]2\cdot \left(6\sqrt{3}+\sqrt{144\cdot (\sqrt{3})^2}\,+24\sqrt{3}\right)[/tex3]

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[tex3]2\cdot \left(6\sqrt{3}+\sqrt{144\cdot (\sqrt{3})^2}\,+24\sqrt{3}\right)[/tex3]

[tex3]2\cdot (6\sqrt{3}+\sqrt{12^2\cdot 3}\;\;+\;\;24\sqrt{3})[/tex3]

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[tex3]2\cdot (6\sqrt{3}+\sqrt{12^2\cdot 3}\;\;+\;\;24\sqrt{3})[/tex3]

[tex3]2\cdot(6\sqrt{3}\,+\,12\sqrt{3}\,+24\,\sqrt{3})[/tex3]

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[tex3]2\cdot(6\sqrt{3}\,+\,12\sqrt{3}\,+24\,\sqrt{3})[/tex3]

[tex3]2\cdot ((6+12+24)\sqrt{3}))\;\;\longrightarrow\;\;2\cdot (42\sqrt{3})\;\;\longrightarrow\;\;\boxed{\boxed{84\sqrt{3}}}\,=\,(T_1)[/tex3]

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[tex3]2\cdot ((6+12+24)\sqrt{3}))\;\;\longrightarrow\;\;2\cdot (42\sqrt{3})\;\;\longrightarrow\;\;\boxed{\boxed{84\sqrt{3}}}\,=\,(T_1)[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{\;T_{1}\;}{ P_{1}}\,=\,\frac{84\cdot \sqrt{3}}{12\sqrt{3}}\,=\,7\sqrt{\frac{3}{3}}\,=\,7\sqrt{1}\,=\,7\cdot 1\;=\,\boxed{7}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\frac{\;T_{1}\;}{ P_{1}}\,=\,\frac{84\cdot \sqrt{3}}{12\sqrt{3}}\,=\,7\sqrt{\frac{3}{3}}\,=\,7\sqrt{1}\,=\,7\cdot 1\;=\,\boxed{7}}[/tex3]

Espero que tenha ficado a par dos meandros do desenvolvimento do problema em pormenor. Se é que não ficou mais confusa. Espero que não.

Tchau !