IME / ITA ⇒ (ITA 1998) Poliedros

[kr4ken]

Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então:
a) m=9, n =7
b) m=n=9
c) m=8, n =10
d) m=10, n=8
e) m = 7, n=9.
Resposta: Letra B (resolução de sistemas)

[Vinisth]

Olá kr4ken,

No primeiro poliedro temos x , y faces :
[tex3]\frac{3x+4y}{2}=16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x+4y}{2}=16[/tex3]

Ainda temos no mesmo poliedro, o número de vértices, pela Relação de Euler :
[tex3]n+(x+y)=16+2[/tex3]

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[tex3]n+(x+y)=16+2[/tex3]

Agora com os dados do poliedro seccionado temos (n-1) vértices e (y+1) faces quadrangulares :
[tex3]\frac{4(y+1)}{2}=2y+2[/tex3]

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[tex3]\frac{4(y+1)}{2}=2y+2[/tex3]

e por Euler :
[tex3]n-1+y+1=2+(2y+2)[/tex3]

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[tex3]n-1+y+1=2+(2y+2)[/tex3]

Temos o sistema :
[tex3]\begin{cases}
3x+4y=32 \\
m=x+y \\
n+x+y=18 \\
n=y+4
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
3x+4y=32 \\
m=x+y \\
n+x+y=18 \\
n=y+4
\end{cases}[/tex3]

Da ultima e penúltima equação se tem ao lado da primeira :
[tex3]\begin{cases}
3x+4y=32 \\
x+2y=14
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
3x+4y=32 \\
x+2y=14
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\boxed{x = 4, \ \ y = 5,\ \ m = 9,\ \ n = 9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{x = 4, \ \ y = 5,\ \ m = 9,\ \ n = 9}[/tex3]

Letra B

Abraço !