Pré-Vestibular(EBM) Polinômios

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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DaviBahia
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(EBM) Polinômios

Mensagem não lida por DaviBahia »

Funções.jpg
Funções.jpg (20.61 KiB) Exibido 3166 vezes
"Em um determinado modelo de GPS, uma das opções de tela é a localização através de um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem O = (0\,;\, 0) representa um ponto escolhido pelo usuário..."

Considerando-se que a parte da curva definida por P(x) = x^3 + bx^2 + cx + d, representada no gráfico, fora de escala, descreve o trajeto feito por uma pessoa do ponto A até o ponto B e admitindo-se a possibilidade do percurso retilíneo de A até B, esta trajetória será descrita algebricamente por

1)\,\,y = 5x + 10
2)\,\,y = 5x +15
3)\,\,y = 8x + 20
4)\,\,y = 10x + 15
5)\,\,y = 10x + 20

(Sem gabarito)

Última edição: DaviBahia (Dom 18 Ago, 2013 13:48). Total de 3 vezes.



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jrneliodias
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Re: (EBM) Polinômios

Mensagem não lida por jrneliodias »

Olá, DaviBahia.

Vamos dividir o que iremos fazer em duas partes, determinar os coeficientes b, c e d e depois, os pontos A e B.

Entre os coeficientes, o d é o mais fácil, pois P(0)=d, então d=-4.

b e c determinamos através de um sistema:

P(-1)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,-1+b-c-4=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,b-c=5

P(1)=-6\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,1+b+c-4=-6\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,b-c=-3

Nosso sistema:

\begin{cases}b-c=5 \\ b+c=-3\end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,b=1\,\,\,\,e\,\,\,c=-4

Logo, o polinômio P(x) é dado por:

P(x)=x^3+x^2-4x-4

Agora, fatoremos para achar todas as raízes:

P(x)=x^3+x^2-4x-4\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,P(x)=(x+1)(x^2-4)

Deste modo:

P(x)=0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,x=-2\,\,\,\,ou\,\,\,x=-1\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=2

Determinando os pontos A\,(x_a\,,\,0) e B\,(4\,,\,y_b). Note que P(x_a)=0 e x_a<-1. Então, x_a=-2

A\,(-2\,,\,0)

Para o ponto B, temos:

P(4)=y_b\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,(4+1)(4^2-4)=y_b\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,y_b=60

B\,(4\,,\,60)

Para determinamos uma reta, é necessário e suficiente que tenhamos dois pontos. Sendo a reta escrita na forma y=ax+b, teremos:

\begin{cases}a(-2)+b=0 \\ a(4)+b=60\end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a=10\,\,\,\,e\,\,\,b=20

Portanto, nossa reta será:

y=10x+20

Espero ter ajudado, abraço.

Última edição: jrneliodias (Dom 18 Ago, 2013 16:45). Total de 1 vez.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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DaviBahia
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Re: (EBM) Polinômios

Mensagem não lida por DaviBahia »

Essa questão é bastante "polêmica" :x

Sem querer desprezar a sua resolução, postei a questão em vários lugares e ninguém respondeu o mesmo oO

Não encontrei o gabarito mas o procurarei novamente.



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theblackmamba
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Re: (EBM) Polinômios

Mensagem não lida por theblackmamba »

Olá jrneliodias,
Teve um pequeno deslize de sinal no final da solução. O certo é b=20. Logo teremos a Letra E

Abraço.
Última edição: theblackmamba (Seg 19 Ago, 2013 23:11). Total de 1 vez.


"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

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jrneliodias
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Re: (EBM) Polinômios

Mensagem não lida por jrneliodias »

Já consertei. Obrigado, theblackmamba.



Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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