Ensino Médio

Qual o conjunto de valores reais $x$ para que $\frac{x^2 + 2x}{2 + x}> -5$ ?

$a)\,\, \{\,x\,|\,x < -2\,\}$
$b)\,\,\{\,x\,|\,x > -5\,\}$
$c)\,\,\{\,x\,|\,-5 < x < -2\,\}$
$d)\,\,\{\,x\,|\,-5 < x \neq -2\,\}$
$e)\,\,\{\,x\,|\,x < -5\,\,ou\,\, x > 2\,\}$

Gabarito:

Letra d.

$\frac{x^{2}+2x}{2+x}>-5$
$\frac{x^{2}+2x}{2+x}+5>0$
$\frac{x^{2}+7x+10}{2+x}>0$
Achando às raízes da primeira inequação.
$x^{2}+7x+10=0$
$S=\left \{ -2\, ;\, -5 \right \}$
Achando a raiz da segunda inequação.
$2+x=0$
$x=-2$

Agora fazendo a intersecção das raízes.
$V=\left \{ x\, \in \mathbb{R}\, \, |\, \, x> -2 \right \}$
Alguém encontrou a mesma coisa ?
Acho que o gabarito esta errado.

Olá, Pessoal.

Bruno, para $x<-5\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x^2+7x+10>0$ . Então a resposta é

$V=\left \{ x\, \in \mathbb{R}\, \, |\,x<-5\,\,\,ou\,\,\, x> -2 \right \}$

Deve ser a letra e. Basta colocar um sinal de menos.

Abraço.

Ué, mas em uma inequação quociente não devemos fazer a intersecção das raízes ?
E também se substituirmos valores menores que -5 como está no seu intervalo não vai satisfazer a inequação.
Veja.
$\frac{x^{2}+7x+10}{2+x}>0$
$\frac{(-6)^{2}+7.(-6)+10}{2+(-6)}>0$
$\frac{36-42+10}{2-6}>0$
$\frac{4}{-4}> 0$
$-1>0$ -----> Não satisfez.

Não é ?

Opa, falei besteira. O seu quadro de sinais que está errado. não precisa colocar duas vezes o $-2$ . veja:

: as.png (17.38 KiB) Exibido 1471 vezes

Portanto:

$V=\left \{ \,x\, \in \mathbb{R}\, \, |\,x>-5\,\,\,ou\,\,\, x\neq-2 \right \,\}$

Abraço.

eh verdade errei nessa parte... obrigado Jr.

Efectuando os cálculos apanharemos S:]-infinito;-5-2; +infinito[ o método mais simples de representar seria pelo método gráfico. Se repararmos bem as opçoes a que melhor se encaixa é a letra d, só nao percebi porque vem diferente -2.

jrneliodias escreveu:Opa, falei besteira. O seu quadro de sinais que está errado. não precisa colocar duas vezes o $-2$

Código: Selecionar tudo

[tex3]-2[/tex3]

. veja:
as.png
Portanto:

$V=\left \{ \,x\, \in \mathbb{R}\, \, |\,x>-5\,\,\,ou\,\,\, x\neq-2 \right \,\}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]V=\left \{ \,x\, \in \mathbb{R}\, \, |\,x>-5\,\,\,ou\,\,\, x\neq-2 \right \,\}[/tex3]

Abraço.

Não entendi

Bem, pessoal.

: download.png (752 Bytes) Exibido 1453 vezes

Eu a fiz rápida, então explicarei melhor. É o nosso quadro de sinais da inequação. A primeira linha é nosso numerador, a função quadrática $x^2+7x+10$ na qual possuirá valores negativos para abcissas do domínio entre as suas raízes e valores negativos, fora de suas raízes.

A segunda linha representa nosso denominador, a função afim $x+2$ na qual será positiva para abcissas maiores que sua raíz e valores negativos para abcissas menores que a raíz.

Por fim, temos o sina do quociente, que varia conforme a posição relativa as raízes. Notem que as raízes não podem ser usadas pois o anulariam, resultado que não queremos e em especial $x\neq -2$ pois anularia o denominador, fato que quebraria nosso décimo primeiro mandamento: Não dividirás por zero.

Portanto, para abcissas maiores que $-5$ e diferentes de $-2$ , nossa inequação será satisfeita.

Espero ter ajudado, abraço.

Entendi.

Muito obrigado a todos

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