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Mensagem não lidapor **Ina18** » Seg 12 Ago, 2013 16:53 · Mensagem não lida por **Ina18** » Seg 12 Ago, 2013 16:53

Seja [tex3]a \in \mathbb{R}[/tex3] e considere as matrizes reais 2x2,

[tex3]A=\begin{pmatrix}3^a & -1 \\ -1 & 3^a \\ \end{pmatrix}\,\,e\,\,B=\begin{pmatrix}7^{a-1} & 8^{a-3} \\ 7 & 2^{-3} \\ \end{pmatrix}[/tex3] .

O produto AB será inversível se, e somente se:

a) [tex3]a^2 - 5a +6\,\neq\,0[/tex3]
b) [tex3]a^2 - 5a\,\neq\,0[/tex3]
c) [tex3]a^2 - 3a\,\neq\,0[/tex3]
d) [tex3]a^2 - 2a +1\,\neq\,0[/tex3]
e) [tex3]a^2 - 2a\,\neq\,0[/tex3]

Resposta:

e

Olá, Ina.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz seja inversível é que seu determinante seja diferente de zero. Portanto:

$\det AB\neq 0$

Pela propriedade de Binet:

$\det A\cdot \det B\neq 0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\left(3^{2a}-1\right)\left(7^{a-1}\cdot 2^{-3}-7\cdot 8^{a-3}\right)\neq 0$

Multiplicando por $7^{-1}\cdot 8$ ,

$\left(3^{2a}-1\right)\left(7^{a-2}- 8^{a-2}\right)\neq 0$

Dividindo por $8^{n-3}$ ,

$\left(3^{2a}-1\right)\left[\left(\frac{7}{8}\right)^{a-2}- 1\right]\neq 0$

Acontece que se um produto não é nulo, então seus fatores também não serão

$\left(3^{2a}-1\right)\neq 0\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\left[\left(\frac{7}{8}\right)^{a-2}- 1\right]\neq 0$

$2a\neq 0\,\,\,\,\,e\,\,\,\,a-2\neq 0$

Se temos dois números não nulos, então seu produto também não será, portanto:

$2a(a-2)\neq 0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\boxed{a^2-2a\neq 0}$

Espero ter ajudado, abraço.

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