Ensino Médio

Mensagem não lidapor **geobson** » 09 Ago 2013, 18:36 · Mensagem não lida por **geobson** » 09 Ago 2013, 18:36

Para todo positivo n , seja Sn o valor mínimo da soma : [tex3]\sum_{k=1}^{n} \sqrt{(2k-1)^2+(A_k)^2 }[/tex3] , onde A1.A2,...,An são números reais positivos cuja soma é igual a 17. Sabendo que existe um único número inteiro positivo n para o qual Sn é também um número inteiro, o valor de n é igual a:

a) 10

b) 12

c) 15

d) 16

e) 17

queremos minimizar a função

$f(A_1,A_2,...,A_n) = \sum_{k=1}^{n}\sqrt{(2k-1)^2 + A_k^2}$

com as restrições $A_1 + A_2 + ... +A_n = 17$ e $A_k > 0, \forall k$

pelo método dos multiplicadores de LaGrange

$L(A_1,A_2,....,A_n,\lambda) = f(A_1,A_2,...,A_n) - \lambda*(A_1+A_2+...+A_n-17)$

$\frac{\partial L}{\partial A_k} = \frac{A_k}{\sqrt{(2k-1)^2 +A_k^2}}- \lambda = 0$
de onde $A_k = (2k-1) \frac{|\lambda|}{\sqrt{1-\lambda^2}}$
de onde $\frac{|\lambda|}{\sqrt{1-\lambda ^2}}(\sum_{k=1}^n 2k-1) = 17$
e então $A_k = \frac{17(2k-1)}{\sum_{k=1}^n(2k-1)} = \frac{17(2k-1)}{n^2}$

ali eu usei que [tex3]\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = 2\sum_{i=1}^{n}i - \sum_{i=1}^{n} 1 = 2\frac{n(n+1)}{2} - n = n^2[/tex3]

substituindo esses valores de $A_k$ em $S_n$ chega-se em
$S_n = \sqrt{1 + \frac{17^2}{n^4}} * n^2 = \sqrt{n^4 + 17^2}$

Se $S_n = m \in \mathbb{N}$ então $m^2 = n^4 + 17^2 \rightarrow 17^2 = (m-n^2)(m+n^2) = 17*17*1$

só podemos ter $m - n^2 = 1$ e $m + n^2 = 17^2$ de onde $2m = 17^2 +1 \rightarrow m = 145, n= 12$

logo $n=12$ letra B
-------------------------------------------------------------------------
o valor "máximo" da soma é $\sqrt{17^2+1} + n^2-1 = n^2 + 16,02938637$ só que ele nunca é efetivamente atingido pois nenhum $A_k=0$

Mensagem não lidapor **geobson** » 21 Mar 2022, 02:07 · Mensagem não lida por **geobson** » 21 Mar 2022, 02:07

Obrigado!.............

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