Ensino MédioFatorial

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Juniorhw
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Ago 2013 04 16:04

Fatorial

Mensagem não lida por Juniorhw »

Exprimir mediante fatorial a expressão 1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1).
Resposta

\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}

Última edição: Juniorhw (Dom 04 Ago, 2013 16:04). Total de 1 vez.



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poti
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Ago 2013 04 16:17

Re: Fatorial

Mensagem não lida por poti »

Para aparecer o fatorial, precisamos multiplicar pelos pares que faltam na expressão:

1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1) = \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n) \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1))}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n} =\frac{(2n)!}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n}

Perceba que:

2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n = (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) ... \cdot (2 \cdot n)

O 2 é multiplicado n vezes e os outros fatores formam o próprio fatorial:

2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n = 2^n \cdot n!

Portanto:

\boxed{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}}

O truque foi multiplicar a expressão em cima e embaixo pela mesma coisa, pois a = \frac{k}{k} \cdot a. Nesse caso, k = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ...

Abraço!

Última edição: poti (Dom 04 Ago, 2013 16:17). Total de 1 vez.


VAIRREBENTA!

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jrneliodias
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Ago 2013 04 16:26

Re: Fatorial

Mensagem não lida por jrneliodias »

Olá, Juniorhw.

1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)\,\,=\,\,\frac{[1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)]\cdot [2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot 2n]}{[2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot 2n]}

\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot(2n-1)\cdot  2n}{\left[2\cdot (2\cdot 2)\cdot (3\cdot 2)\cdot ...\cdot 2n\right]}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot(2n-1)\cdot 2n}{\underbrace{[2\cdot 2\cdot 2\cdot ...\cdot 2]}_{n\,\,vezes}\cdot [1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n]}

Pela definição de fatorial:

\boxed{\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}}

Espero ter ajudado, abraço.

Última edição: jrneliodias (Dom 04 Ago, 2013 16:26). Total de 1 vez.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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