IME / ITA ⇒ (Colégio Naval) Aritmética Tópico resolvido

[juniorcesar]

O número [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

, dividido por [tex3]11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11[/tex3]

, deixa resto [tex3]2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

, dividido pelo mesmo divisor , deixar resto [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

. calcule o menor número a ser subtraído de [tex3]a^3+b^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^2[/tex3]

, para que se obtenha um múltiplo de [tex3]11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11[/tex3]

.

Resposta

---

Gabarito: 6

[theblackmamba]

Olá juniorcesar,

Usando congruência modular:

[tex3]a \equiv 2\,(\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a \equiv 2\,(\text{mod}11)[/tex3]

[tex3]b \equiv 3(\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b \equiv 3(\text{mod}11)[/tex3]

Pela propriedade podemos somar:
[tex3]a+b=5(\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b=5(\text{mod}11)[/tex3]

. Por outra propriedade:
[tex3]a\cdot b \equiv 6 (\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\cdot b \equiv 6 (\text{mod}11)[/tex3]

Por outra propriedade:
[tex3](a+b)^3=5^3(\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)^3=5^3(\text{mod}11)[/tex3]

[tex3](a+b)^3 \equiv 125(\text{mod}11)\equiv 11\cdot 11+4 \,\,(\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)^3 \equiv 125(\text{mod}11)\equiv 11\cdot 11+4 \,\,(\text{mod}11)[/tex3]

[tex3](a+b)^3\equiv 4(\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)^3\equiv 4(\text{mod}11)[/tex3]

[tex3]a^3+b^3+3ab\cdot (a+b)\equiv 4(\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3+3ab\cdot (a+b)\equiv 4(\text{mod}11)[/tex3]

Podemos substituir as parcelas [tex3]ab[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ab[/tex3]

e [tex3]a+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b[/tex3]

por suas respectivas congruência módulo [tex3]11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11[/tex3]

:

[tex3]a^3+b^3+3\cdot 6\cdot 5\equiv 4 (\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3+3\cdot 6\cdot 5\equiv 4 (\text{mod}11)[/tex3]

. Podemos passar o produto [tex3]3\cdot 6\cdot 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\cdot 6\cdot 5[/tex3]

para o outro lado subtraindo:
[tex3]a^3+b^3 \equiv -86(\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3 \equiv -86(\text{mod}11)[/tex3]

. Perceba que o menor múltiplo de 11 no caso é [tex3]88[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]88[/tex3]

. Portanto, podemos escrever:

[tex3]a^3+b^3\equiv 2 (\text{mod}11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3\equiv 2 (\text{mod}11)[/tex3]

[tex3]\boxed{a^3+b^3-2 \equiv 0 (\text{mod}11)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{a^3+b^3-2 \equiv 0 (\text{mod}11)}[/tex3]

Ou seja, devemos subtrair o número [tex3]\boxed{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{2}[/tex3]

para que [tex3]a^3+b^3-5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3-5[/tex3]

seja múltiplo de [tex3]11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11[/tex3]

(resto 0 na divisão por 11).

Não consegui chegar ao gabarito mas peço que me mostrem o possível erro.
Abraço.

[juniorcesar]

o que tem de errado não é A³+B³ e sim A³+ B²

[jrneliodias]

Opa, erro meu! Já corrigi. Desculpe.

Abraço.

[theblackmamba]

Vi um jeito mais fácil.

Usando o teorema:

[tex3]x\equiv y\,(\text{mod}\,k)\,\,\Rightarrow\,\,x^n\equiv y^n\,(\text{mod}\,k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\equiv y\,(\text{mod}\,k)\,\,\Rightarrow\,\,x^n\equiv y^n\,(\text{mod}\,k)[/tex3]

[tex3]a\equiv 2\,(\text{mod}\,11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\equiv 2\,(\text{mod}\,11)[/tex3]

[tex3]a^3\equiv 8 \,(\text{mod}\,11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3\equiv 8 \,(\text{mod}\,11)[/tex3]

[tex3]b \equiv 3\,(\text{mod}\,11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b \equiv 3\,(\text{mod}\,11)[/tex3]

[tex3]b^2\equiv 9\,(\text{mod}\,11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^2\equiv 9\,(\text{mod}\,11)[/tex3]

Usando a propriedade da soma:

[tex3]a^3+b^2\equiv 17\,(\text{mod}\,11)\equiv 6+11 \,(\text{mod}\,11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^2\equiv 17\,(\text{mod}\,11)\equiv 6+11 \,(\text{mod}\,11)[/tex3]

[tex3]a^3+b^2\equiv 6\,(\text{mod}\,11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^2\equiv 6\,(\text{mod}\,11)[/tex3]

[tex3]\boxed{a^3+b^2-6\equiv 0\,(\text{mod}\,11)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{a^3+b^2-6\equiv 0\,(\text{mod}\,11)}[/tex3]

Ou seja, devemos subtrair o número [tex3]\boxed{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{6}[/tex3]

que tenhamos um múltiplo de [tex3]11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11[/tex3]

(deixa resto zero na divisão por 11)

Abraço.

[Breno0101]

Então.. tendo em vista o conceito de congruên ia aritimética organizaremos as informacões do enunciado:
Esse sinal "~" será a minha representação para congruente..!
1) a~2(mod11) -->(eleva ao cubo os 2 lados, de acordo com os requisitos da questão)---------------> a³~8(mod11)

2) b~3(mod11)--->(eleva ao quadrado os 2 lados, de acordo com a questão)-------------------------> b²~9(mod11)
Agora somaremos as duas relações...

---> a³ + b² ~ 17(mod11) (logo o menor número para subtrairmos é 6, já que o múltiplo de 11 mais próximo do 17 é o próprio 11)
(Não esqueça que a questão fala subtrair, por isso não somamos 5 e chegamos no 22)

A³+b²-6~17-6(mod11)---> a³+b²-6~11(mod11)

Espero que tenham entendido, abraço!

[Gabr7891b]

Só fazer de acordo com as propriedades.

[Papiro8814]

Tava apanhando nessa kkkkk
no final era só substituir o valor dos restos nas respectivas incógnitas
2^3 + 3²
8 + 9 = 17
17 - 6 = 11
Tava fazendo um monte de contas desnecessárias kkkk