Ensino MédioLogaritmo Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Kapizany
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Logaritmo

Mensagem não lida por Kapizany »

Sera q alguém poderia me dar uma força por favor??
[tex3]\sqrt{log_a [(3-2x)/(1-x)] }<1[/tex3] , não tenho o gabarito!

Última edição: Kapizany (Dom 16 Jun, 2013 23:40). Total de 1 vez.



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jrneliodias
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Jun 2013 16 23:54

Re: Logaritmo

Mensagem não lida por jrneliodias »

Olá, Kapizany.

Na questão, fala-se algo relativo ao a?

Última edição: jrneliodias (Dom 16 Jun, 2013 23:54). Total de 1 vez.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Kapizany »

não porem acredito que deve-se levar em consideração dois casos, [tex3]0<a<1[/tex3] e [tex3]a>1[/tex3] , e complica um pouco!
Última edição: Kapizany (Seg 17 Jun, 2013 00:13). Total de 1 vez.



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jrneliodias
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Jun 2013 17 00:36

Re: Logaritmo

Mensagem não lida por jrneliodias »

É verdade.

Primeiro, sendo b>0,\,\,\,\,\sqrt{c}<b\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,c>0\,\,\,\,e\,\,\,\,c<b^2

Segundo, \log_a b\,\in\,\mathbb{R}\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,\,0<a\neq 1\,\,\,\,\,e\,\,\,\,b>0


Então, o que você teria que fazer:

1)\,\,\,\,\frac{3-2x}{1-x}>0

2)\,\,\,\,\,0\leq\log_a \left(\frac{3-2x}{1-x}\right)<1\,\,\,\,\,para\,\,\,\,\,0<a<1\,\,\,\,\,e\,\,\,\,a>1

Você só pediu uma "força" :lol:
Se você tiver alguma dúvida, me fale depois.
Última edição: jrneliodias (Seg 17 Jun, 2013 00:36). Total de 1 vez.


Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Kapizany »

Esta ótimo obrigado!



Auto Excluído (ID:8010)
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Jun 2013 17 11:38

Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:8010) »

Eu resolvi essa questão! Ela é muito complicada e também a resolução dela é enorme.
O a é um parâmetro!
Depois eu venho aqui e posto minha resolução.
Última edição: Auto Excluído (ID:8010) (Seg 17 Jun, 2013 11:38). Total de 1 vez.



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Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Kapizany »

Seria ótimo para conferir com a minha!!



Auto Excluído (ID:8010)
6 - Doutor
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Jun 2013 17 12:53

Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:8010) »

Eu vou colocar uma resolução rápida, pois se eu ficar comentando nas passagens a resolução ficará enorme. Vou optar em não fazer o gráfico x=\frac{a-3}{a-2}. Na minha resolução eu fiz o gráfico, pois ficou mais fácil para visualizar a resultado final. Qualquer dúvida me avise!

\sqrt{log_a\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)}}<1

Agora vamos fazer todas as condições de existência:

Condições de existência:

\frac{3-2x}{1-x}>0
\therefore x\in]-\infty;1[\cup  ]\frac{3}{2};+\infty[

O log está dentro de um raiz quadrada, portanto ele deve obedecer a seguinte condição:

log_a\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)}\geq 0

Devemos lembrar que a é um parâmetro e ele está na base. Portanto, quando ele estiver entre 0 e 1 ele terá um valor diferente do que quando ele for maior do que 1(Lembrando que a deve ser diferente de 1 e maior do que 0).

• 0<a<1
[tex3]log_a\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)\geq 0[/tex3] \therefore \frac{3-2x}{1-x}\leq 1
x<1\rightarrow \frac{3-2x}{1-x}\leq 1 \therefore 3-2x\leq 1-x\therefore x\geq 2 ABSURDO!
x>1\rightarrow 3-2x\geq 1-x\therefore x\leq 2\rightarrow \frac{3}{2}<x\leq 2

a>1
[tex3]log_a\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)\geq 0[/tex3] \therefore \frac{3-2x}{1-x}\geq  1
x<1\rightarrow 3-2x\geq 1-x\therefore x\leq 2\rightarrow x\leq 1
x>1\rightarrow 3-2x\leq 1-x\therefore x\geq 2

Pronto! Fizemos as condições de existência. Agora vamos resolver o problema:

\sqrt{log_a\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)}}<1 Eleva os dois lados ao quadrado!
log_a\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)}<1

0<a<1
log_a\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)}<1
\frac{3-2x}{1-x}>a
x\in ]\frac{3}{2};2]\therefore 3-2x<a-ax\rightarrow 3+ax-2x<a
x(a-2)<a-3
Como a\in ]0;1[\rightarrow x>\frac{a-3}{a-2}
\therefore x\in ]\frac{a-3}{a-2};2]

Agora vamos analisar para a>1:

a>1
log_a\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)}<1
\frac{3-2x}{1-x}<a

Agora vai ficar meio confuso. Qualquer dúvida me avise:

x<1\rightarrow 3-2x<a-ax\therefore x(a-2)<a-3
1<a<2\rightarrow x>\frac{a-3}{a-2}................\emptyset
a>2\rightarrow x<\frac{a-3}{a-2}
\therefore x\in ]-\infty;\frac{a-3}{a-2}[

x>1\rightarrow 3-2x>a-ax\therefore x(a-2)>a-3
1<a<2\rightarrow x<\frac{a-3}{a-2}
\therefore x\in [2;\frac{a-3}{a-2}[
a>2\rightarrow x>\frac{a-3}{a-2} Nesse aqui eu tive um problema, pois a solução seria x\in [2;+\infty[, mas no gabarito não tem esse resposta.

a=2
log_2\left(\frac{3-2x}{1-x}\right)<1\therefore \frac{3-2x}{1-x}<2
x<1\rightarrow 3-2x<2-2x........................\emptyset
x>1\rightarrow 3-2x>2-2x \therefore x\in [2;+\infty[

SOLUÇÃO FINAL:

0<a<1..................]\frac{a-3}{a-2};2]
1<a<2..................[2;\frac{a-3}{a-2}[
a=2.....................[2;+ \infty[
a>2.....................]- \infty;\frac{a-3}{a-2}[
Última edição: Auto Excluído (ID:8010) (Seg 17 Jun, 2013 12:53). Total de 1 vez.



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Re: Logaritmo

Mensagem não lida por Kapizany »

Nossa cara ótima solução, muito obrigado!!




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