Dada a equação do 2º grau na incógnita [tex3]x:\text{ } 4x^2+kx+3=0.[/tex3]
a) [tex3]2[/tex3]
b) [tex3]3[/tex3]
c) [tex3]4[/tex3]
d) [tex3]6[/tex3]
e) [tex3]8[/tex3]
Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro [tex3]k,[/tex3]
tais que essa equação só admita raízes racionais?IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2003) Equação do Segundo Grau Tópico resolvido
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(Colégio Naval - 2003) Equação do Segundo Grau
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Razão: tex --> tex3
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Re: (Colégio Naval - 2003) Equação do Segundo Grau
Olá Wachsmuth,
Para que a equação tenha raízes racionais, o seu [tex3]\Delta[/tex3] deve ser um quadrado perfeito.
Mas você deve estar achando que iremos testar infinitos valores... mas não! Existem algumas restrições que podemos ver antes.
A primeira diz respeito ao sinal, ou seja, [tex3]\Delta > 0.[/tex3] Para isso, vemos que [tex3]k \geq 7.[/tex3]
Queremos que [tex3]\Delta[/tex3] seja um quadrado perfeito, portanto, vamos dizer que ele será [tex3]\Delta = j^2[/tex3] onde [tex3]j[/tex3] é um número inteiro. Então:
Então devemos testar os valores entre [tex3]7[/tex3] e [tex3]24,[/tex3] inclusive. Pois é, é trabalhoso mesmo, mas é certo de achar a resposta.
Resposta final, [tex3]6[/tex3] possibilidades.
Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br
Para que a equação tenha raízes racionais, o seu [tex3]\Delta[/tex3] deve ser um quadrado perfeito.
- [tex3]\Delta = k^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3[/tex3]
[tex3]\Delta = k^2 - 48[/tex3]
Mas você deve estar achando que iremos testar infinitos valores... mas não! Existem algumas restrições que podemos ver antes.
A primeira diz respeito ao sinal, ou seja, [tex3]\Delta > 0.[/tex3] Para isso, vemos que [tex3]k \geq 7.[/tex3]
Queremos que [tex3]\Delta[/tex3] seja um quadrado perfeito, portanto, vamos dizer que ele será [tex3]\Delta = j^2[/tex3] onde [tex3]j[/tex3] é um número inteiro. Então:
- [tex3]k^2-48 = j^2[/tex3]
[tex3]k^2-j^2 = 48[/tex3]
- [tex3]\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots\}[/tex3]
- [tex3]4 - 1 = 3\\
9 - 4 = 5\\
16 - 9 = 7\\
25 - 16 = 9\\
36 - 25 = 11\\
\ldots[/tex3]
Então devemos testar os valores entre [tex3]7[/tex3] e [tex3]24,[/tex3] inclusive. Pois é, é trabalhoso mesmo, mas é certo de achar a resposta.
- [tex3]\begin{aligned}
k = 7 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{1} \\
k = 8 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{16} \\
k = 9 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 33 \\
k = 10 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 52 \\
k = 11 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 73 \\
k = 12 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 96 \\
k = 13 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = \boxed{121} \\
k = 14 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 148 \\
k = 15 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 177 \\
k = 16 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 208 \\
k = 17 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 241 \\
k = 18 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 276 \\
k = 19 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 313 \\
k = 20 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 352 \\
k = 21 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 393 \\
k = 22 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 436 \\
k = 23 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 481 \\
k = 24 & \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} k^2-48 = 528
\end{aligned}[/tex3]
Resposta final, [tex3]6[/tex3] possibilidades.
Atenciosamente
Prof. Caju
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