Ensino Superior ⇒ Integral: Massa de uma Placa

[roberto]

Calcule a massa de uma placa fina que cobre a região exterior à circunferência de raio [tex3]r=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=3[/tex3]

e a região interna à circunferência [tex3]r=6\text{sen}(t),[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=6\text{sen}(t),[/tex3]

se a densidade for [tex3]d(x,y)=\frac{1}{r}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d(x,y)=\frac{1}{r}.[/tex3]

[Rafa2604]

Calcule a massa de uma placa fina que cobre a região exterior à circunferência de raio r=3 e a região interna à circunferência r=6sen(t), se a densidade for d(x,y)=1/r.

Temos que massa é: [tex3]M = \iint_{R}\delta(x,y) dA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = \iint_{R}\delta(x,y) dA[/tex3]

A região da placa fina é a região exterior à circunferência de raio r=3 e a região interior da circunferência r=6sen(t),
então a variação do raio é: 3 [tex3]\leq[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq[/tex3]

r [tex3]\leq[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq[/tex3]

6sen(t). Portanto, podemos encontrar a variação de t igualando 3=6sen(t):
3 = 6sen(t) --> sen(t) = 3/6 --> sen(t) = 1/2 --> t = arcsen(1/2) --> t = [tex3]\pi/6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi/6[/tex3]

. Então, temos que. fazendo o desenho dos raios encontrados na forma polar temos que: [tex3]\pi/6 \leq t \leq 5\pi/6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi/6 \leq t \leq 5\pi/6[/tex3]

.

Portanto, temos que:
[tex3]M = \iint_{}\frac{1}{r} rdrdt = \iint_{3}^{6sen(t)}drdt= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}[ r ]_3^{6sent^} dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} [ 6sent - 3 ] dt = \\ \;\; = [-6cost-3t]_{\frac{\pi}6}^{\frac{5\pi}{6}} = [-6cos(5\pi/6) -3\frac{5\pi}{6} - (-6cos(\frac{\pi}{6}) -3.{\frac{\pi}{6}})] = \\ \; \; = [ 6. \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{2} + 6. \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{2}] = 6\sqrt{3} -2\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M = \iint_{}\frac{1}{r} rdrdt = \iint_{3}^{6sen(t)}drdt= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}[ r ]_3^{6sent^} dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} [ 6sent - 3 ] dt = \\ \;\; = [-6cost-3t]_{\frac{\pi}6}^{\frac{5\pi}{6}} = [-6cos(5\pi/6) -3\frac{5\pi}{6} - (-6cos(\frac{\pi}{6}) -3.{\frac{\pi}{6}})] = \\ \; \; = [ 6. \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{2} + 6. \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{2}] = 6\sqrt{3} -2\pi[/tex3]