Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Ina18** » Dom 21 Abr, 2013 18:23 · Mensagem não lida por **Ina18** » Dom 21 Abr, 2013 18:23

1)

a) Obter o termo geral da sequência (1,3,7,13,21,...)
b) Para que valores de n, a termo geral é menor que 100?

Mensagem não lidapor **Ina18** » Dom 21 Abr, 2013 22:14 · Mensagem não lida por **Ina18** » Dom 21 Abr, 2013 22:14

Ah, não sei se facilita ou não.. haha mas a PA do item a é uma PA de segunda ordem, dela eu tiro uma outra PA de razão 2 e [tex3]a_1=2[/tex3] ... mas não sei continuar disso.. vou ir vendo no que eu avanço, se alguém puder ajudar também eu fico beem agradecida ^^

Olá Ina,

Uma forma de resolver é enxergar o seguinte:
a)
[tex3]a_1=1[/tex3]
[tex3]a_2=1+2[/tex3]
[tex3]a_3=1+2+4=1+2(1+2)[/tex3]
[tex3]a_4=1+2+4+6=1+2(1+2+3)[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
[tex3]a_n=1+2(1+2+\cdots+(n-1))=1+2\cdot\frac{[1+(n-1)](n-1)}{2}=n(n-1)+1[/tex3]
[tex3]\boxed{a_n=n(n-1)+1}[/tex3]

b)
Veja que se pegarmos [tex3]n=10[/tex3] teremos,
[tex3]a_{10}=10\cdot 9+1=91[/tex3]

Veja que se pegarmos [tex3]n=11[/tex3] teremos,
[tex3]a_{11}=11\cdot 10+1=111[/tex3] . E este valor é maior que [tex3]100[/tex3] .

Com isso devemos ter [tex3]\boxed{n\in\{1,2,\cdots,10\}}[/tex3] .

Abraço.

Mensagem não lidapor **Ina18** » Seg 22 Abr, 2013 08:18 · Mensagem não lida por **Ina18** » Seg 22 Abr, 2013 08:18

FilipeCaceres escreveu: [tex3]a_2=1+3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_2=1+3[/tex3]

Bom, acho que aqui tu quis colocar
[tex3]a_2=1+2[/tex3]
mas enfim, obrigada era isso mesmo ^^

Mensagem não lidapor **Radius** » Seg 22 Abr, 2013 19:47 · Mensagem não lida por **Radius** » Seg 22 Abr, 2013 19:47

FilipeCaceres, sei de outro método para resolver PA's de qualquer ordem mas estou me custando para lembrar

basicamente é isso:

[tex3]a_{n+1}-a_n=b_n[/tex3]

no caso deste tópico, [tex3]b_n=2n[/tex3]

mas não lembro como prosseguir para encontrar [tex3]a_n[/tex3] . Sabe algo a respeito disso?

Olá Ina,

Eu digitei errado, o certo é como você escreveu.

Olá Radius,

Vou resolver da forma que você deseja, ou espero que seja.

Façamos as seguintes diferenças.
[tex3]a_2-a_1=b_1[/tex3]
[tex3]a_3-a_2=b_2[/tex3]
[tex3]a_4-a_3=b_3[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
[tex3]a_n-a_{n-1}=b_{n-1}[/tex3]

Somando,
[tex3]a_n-a_1=\frac{(b_1+b_{n-1})\cdot(n-1)}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{a_n=a_1+\frac{(2b_1+(n-2)\cdot r)\cdot(n-1)}{2}}[/tex3] . Forma geral para uma PA de 2º Ordem

Agora vamos substituir os valores e ver se chegamos na mesma equação que foi dada anteriormente.
[tex3]a_1=1[/tex3]
[tex3]b_1=a_2-a_1=3-1=2[/tex3]
[tex3]b_2=a_3-a_2=7-3=4[/tex3]
[tex3]r=b_2-b_1=4-2=2[/tex3]

Assim temos,
[tex3]a_n=1+\frac{(2\cdot 2+(n-2)\cdot 2)\cdot(n-1)}{2}[/tex3]
[tex3]a_n=1+2\cdot(n-1)+(n-2)\cdot (n-1)[/tex3]
[tex3]a_n=1+(n-1)[(n-2)+2][/tex3]
[tex3]\boxed{a_n=n(n-1)+1}[/tex3]

Abraço.

Mensagem não lidapor **Radius** » Seg 22 Abr, 2013 20:36 · Mensagem não lida por **Radius** » Seg 22 Abr, 2013 20:36

hummm, é praticamente isso aí mas um pouco mais simples e rápido.

quando eu me lembrar eu posto aqui.

Mensagem não lidapor **Cássio** » Seg 22 Abr, 2013 21:34

Olá a todos

Peço licença pra dar minha contribuição também.

Essa forma eu não considero muito instrutivo, mas é o seguinte:

É possível provar que o termo geral [tex3]a_n[/tex3] de toda P.A. de ordem [tex3]p\ge 2[/tex3] é um polinômio de grau [tex3]p[/tex3] em [tex3]n.[/tex3]

Por exemplo: Uma progressão aritimética de primeira ordem tem sempre como termo geral um polinômio de primeiro grau.

Uma P.A. de ordem 2 tem como termo geral um polinômio de 2º grau

Uma P.A de ordem 3 tem como termo geral um polinômio de grau 3.

Na questão da Ina (que me lembra minha ex-professora de Inglês), a P.A. é de grau 2, então poderíamos também ter procurado o polinômio de segundo grau que gera a sequência dela.

Digamos que [tex3]a_n=rn^2+sn+t[/tex3]

Daí, temos:

[tex3]a_1=1\ \ \Longrightarrow\ \ 1=r+s+t[/tex3]

[tex3]a_2=3\ \ \Longrightarrow\ \ 3=r(2^2)+s\cdot 2+t\ \ \iff\ \ 3=4r+2s+
t[/tex3]

[tex3]a_3=7\ \ \Longrightarrow\ \ 7=r(3^2)+3s+t\ \ \iff\ \ 7=9r+3s+t[/tex3]

Aí, resolvendo o sistema [tex3]\begin{cases}1=r+s+t \\ 3=4r+2s+t\\
7=9r+3s+t\end{cases}[/tex3] (não vou resolver, pois foge ao propósito...rsrs) encontramos

[tex3]r=1;\ \ \ s=-1;\ \ \ t=1[/tex3]

Ou seja, o termo geral da progressão da Ina é [tex3]a_n=n^2-n+1,[/tex3] como foi encontrado pelo colega FilipeCaceres

Mensagem não lidapor **Ina18** » Ter 23 Abr, 2013 22:06 · Mensagem não lida por **Ina18** » Ter 23 Abr, 2013 22:06

Poxa, essa última aí foi boa.. só uma coisa.. se algum de vocês aí manjar de módulo, bem que poderiam me ajudar num outro tópico aí que eu criei

haha várias pessoas vendo e até agora nada

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