Olimpíadas(Inglaterra) Equação

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Juniorsjc
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(Inglaterra) Equação

Mensagem não lida por Juniorsjc »

Se a e b são números inteiros e positivos que satisfazem a equação :
(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - 1)^2 = 49 + 20\sqrt[3]{6}

Calcule a e b.
Resposta

a=48 e b =288

Última edição: Juniorsjc (Seg 11 Mar, 2013 21:52). Total de 1 vez.


"Ainda que eu falasse a língua dos homens e falasse a língua dos anjos, sem amor eu nada seria."

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Dick
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Re: (Inglaterra) Equação

Mensagem não lida por Dick »

(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-1)^2=49+20\sqrt[3]{6}

Fazendo: a = 6x^{3}; b = 36y^{3} (1)

Do produto notável: (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz

(\sqrt[3]{6x^3}+\sqrt[3]{36y^3}-1)^2=(x\sqrt[3]{6}+y\sqrt[3]{36}-1)^2

(x\sqrt[3]{6}+y\sqrt[3]{36}-1)^2=x^2\sqrt[3]{36}+6y^2\sqrt[3]{6}+1+12xy-2x\sqrt[3]{6}-2y\sqrt[3]{36}=49+20\sqrt[3]{6}

Por comparação, temos:

12xy + 1 = 49 \rightarrow 12xy = 48 \rightarrow xy = 4 (2)

6y^2\sqrt[3]{6} - 2x\sqrt[3]{6} = 20\sqrt[3]{6} \rightarrow 3y^2 - x = 10

x^2\sqrt[3]{36} - 2y\sqrt[3]{36} = 0 \rightarrow x^2 - 2y = 0 \rightarrow x^2 = 2y (3)

Da equação (2): xy = 4 \rightarrow y=\frac{4}{x}

Substituindo em (3): x^2=2y \rightarrow x^2=2\frac{4}{x} \rightarrow x^3=8 \rightarrow x=2

Portanto: y=\frac{4}{x} \rightarrow y=2

Substituindo em (1):

a=6x^3 \rightarrow a=6.8 \rightarrow a=48

b=36y^3 \rightarrow b=36.8 \rightarrow b=288

Resp: a=48; b=288

Última edição: Dick (Dom 28 Abr, 2013 19:53). Total de 1 vez.



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Thadeu
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Re: (Inglaterra) Equação

Mensagem não lida por Thadeu »

Apesar do tempo de resolução, gostaria de saber o qual a base usada para fazer a=6x^3 e b=36y^3?
Última edição: Thadeu (Seg 09 Dez, 2013 11:23). Total de 1 vez.



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Babi123
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Ago 2017 04 01:46

Re: (Inglaterra) Equação

Mensagem não lida por Babi123 »

Não consegui entender o prq da substituição [tex3]a=6x^3[/tex3] e [tex3]b=36y^3[/tex3] . Alguém pode me ajudar explicando sobre esta substituição?
Última edição: Babi123 (Sex 04 Ago, 2017 02:24). Total de 1 vez.



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undefinied3
5 - Mestre
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Ago 2017 05 00:02

Re: (Inglaterra) Equação

Mensagem não lida por undefinied3 »

Porque temos [tex3]\sqrt[3]{6}[/tex3] do outro lado, então depois poderemos igualar parte racional com racional e irracional com irracional. O 36 é pra mesma coisa. Foi uma ideia ótima do cara que mata a questão rapidamente, ou seja, é o tipo de coisa que se adquire na prática. Não dá pra dizer exatamente porquê justamente essa ideia, é simplesmente uma boa ideia.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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