Ensino Fundamental ⇒ Soma dos pontos médios. Tópico resolvido
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Fev 2008
14
15:22
Soma dos pontos médios.
olá, tentei resolver o exercicio logo abaixo, mas encontrei apenas uma resposta, já no gabarito consta três respostas como corretas. Alguém poderia me ajudar a visualisar as outras duas respostas que o gabarito diz também estar correta.
Numa reta r, tomemos os segmentos AB e BC e um ponto P de modo que AB seja o quíntuplo de PC, BC seja o quádruplo de PC e AP = 80cm. Sendo M e N os pontos médios de AB e BC, respectivamente, determine MN.
A resposta que eu encontrei é : 36 cm.
Já no gabarito as respostas são: 36 cm ou 45 cm ou 20 cm.
Agradeço antecipadamente.
Sem mais. João.
Numa reta r, tomemos os segmentos AB e BC e um ponto P de modo que AB seja o quíntuplo de PC, BC seja o quádruplo de PC e AP = 80cm. Sendo M e N os pontos médios de AB e BC, respectivamente, determine MN.
A resposta que eu encontrei é : 36 cm.
Já no gabarito as respostas são: 36 cm ou 45 cm ou 20 cm.
Agradeço antecipadamente.
Sem mais. João.
Última edição: JOÃO ANTÔNIO VIEIRA (Qui 14 Fev, 2008 15:22). Total de 1 vez.
" Uma mente que se expande nunca voltará ao seu tamanho original" ALBERT EINSTEIN
Fev 2008
14
18:05
Re: Soma dos pontos médios.
A ------------- B-----------P-------C
AB = 5PC
BC = 4PC
AP = 80
Nesse caso,
AP = AB + BC - PC
80 = 5PC + 4PC - PC
8PC = 80
PC = 10 cm
AB = 50 cm e BC = 40 cm
A soma dos pontos médios MN será 25 + 20 = 45 cm
Uma das respostas
AB = 5PC
BC = 4PC
AP = 80
Nesse caso,
AP = AB + BC - PC
80 = 5PC + 4PC - PC
8PC = 80
PC = 10 cm
AB = 50 cm e BC = 40 cm
A soma dos pontos médios MN será 25 + 20 = 45 cm
Uma das respostas
Última edição: Thadeu (Qui 14 Fev, 2008 18:05). Total de 1 vez.
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15
20:04
Re: Soma dos pontos médios.
Resposta
36cm,45cm ou 20cm
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
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15
20:33
Re: Soma dos pontos médios.
Olá MafIl10,
Utilizando a seguinte reta:
Podemos escrever:
[tex3]x=5PC[/tex3]
[tex3]y=4PC[/tex3]
Podemos escrever o comprimento AC de duas formas:
[tex3]AC=x-y[/tex3]
[tex3]AC=k-PC[/tex3]
Ou seja, igualando as duas equações acima, e sabendo que [tex3]k=80[/tex3] :
[tex3]x-y=80-PC[/tex3]
[tex3]5PC-4PC=80-PC\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{PC=40}[/tex3]
Com esse valor de PC encontramos: [tex3]AB=5PC=200[/tex3] e [tex3]BC=4PC=160[/tex3] .
M é ponto médio de [tex3]AB[/tex3] . Ou seja, [tex3]BM=100[/tex3] .
N é ponto médio de [tex3]BC[/tex3] . Ou seja, [tex3]BN=80[/tex3] .
Assim, concluímos que [tex3]\boxed{\boxed{MN=20}}[/tex3] .
Veja que é só colocar os pontos em ordem diferente para encontrar [tex3]MN[/tex3] diferente.
Grande abraço,
Prof. Caju
Utilizando a seguinte reta:
Podemos escrever:
[tex3]x=5PC[/tex3]
[tex3]y=4PC[/tex3]
Podemos escrever o comprimento AC de duas formas:
[tex3]AC=x-y[/tex3]
[tex3]AC=k-PC[/tex3]
Ou seja, igualando as duas equações acima, e sabendo que [tex3]k=80[/tex3] :
[tex3]x-y=80-PC[/tex3]
[tex3]5PC-4PC=80-PC\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{PC=40}[/tex3]
Com esse valor de PC encontramos: [tex3]AB=5PC=200[/tex3] e [tex3]BC=4PC=160[/tex3] .
M é ponto médio de [tex3]AB[/tex3] . Ou seja, [tex3]BM=100[/tex3] .
N é ponto médio de [tex3]BC[/tex3] . Ou seja, [tex3]BN=80[/tex3] .
Assim, concluímos que [tex3]\boxed{\boxed{MN=20}}[/tex3] .
Veja que é só colocar os pontos em ordem diferente para encontrar [tex3]MN[/tex3] diferente.
Grande abraço,
Prof. Caju
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15
20:43
Re: Soma dos pontos médios.
Fazendo com a seguinte ordem:
Temos:
[tex3]x+y+k=80[/tex3]
Sendo:
[tex3]x=5k[/tex3]
[tex3]y=4k[/tex3]
Temos:
[tex3]5k+4k+k=80\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{k=8}[/tex3]
Ou seja, [tex3]x=AB=40[/tex3] e [tex3]y=BC=32[/tex3]
Sendo [tex3]M[/tex3] ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , temos que [tex3]BM=20[/tex3]
Sendo [tex3]N[/tex3] ponto médio de [tex3]BC[/tex3] , temos que [tex3]BN=16[/tex3]
Assim, [tex3]MN=20+16=36[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
Temos:
[tex3]x+y+k=80[/tex3]
Sendo:
[tex3]x=5k[/tex3]
[tex3]y=4k[/tex3]
Temos:
[tex3]5k+4k+k=80\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{k=8}[/tex3]
Ou seja, [tex3]x=AB=40[/tex3] e [tex3]y=BC=32[/tex3]
Sendo [tex3]M[/tex3] ponto médio de [tex3]AB[/tex3] , temos que [tex3]BM=20[/tex3]
Sendo [tex3]N[/tex3] ponto médio de [tex3]BC[/tex3] , temos que [tex3]BN=16[/tex3]
Assim, [tex3]MN=20+16=36[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
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20:51
Re: Soma dos pontos médios.
(I) Professor caju, o senhor inverteu o segmento [tex3]\overline{BC}[/tex3]
. Pode fazer isso? Isso entra na propriedade reflexiva de segmentos?
(II) Como posso descobrir que todas as formas foram possíveis de se rearranjar?
(II) Como posso descobrir que todas as formas foram possíveis de se rearranjar?
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
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15
21:00
Re: Soma dos pontos médios.
Olá MafIl10,
O que fiz foi apenas seguir as regras do enunciado.
Note que não há nenhuma indicação no enunciado de que o ponto [tex3]C[/tex3] tenha que vir à direita ou à esquerda de [tex3]B[/tex3] . Nem que [tex3]P[/tex3] tenha que vir à direita ou à esquerda de [tex3]C[/tex3] . Então temos que analisar todas essas possibilidades.
Sendo assim, temos 4 possíveis cenários:
[tex3]ABCP[/tex3], que resulta em [tex3]MN=36[/tex3]
[tex3]ABPC[/tex3], que resulta em [tex3]MN=45[/tex3]
[tex3]ACPB[/tex3], que resulta em [tex3]MN=20[/tex3]
[tex3]APCB[/tex3], que resulta em impossibilidade, pois [tex3]P[/tex3] seria igual a [tex3]A[/tex3] , mas deve ser [tex3]AP=80[/tex3] .
Grande abraço,
Prof. Caju
O que fiz foi apenas seguir as regras do enunciado.
Note que não há nenhuma indicação no enunciado de que o ponto [tex3]C[/tex3] tenha que vir à direita ou à esquerda de [tex3]B[/tex3] . Nem que [tex3]P[/tex3] tenha que vir à direita ou à esquerda de [tex3]C[/tex3] . Então temos que analisar todas essas possibilidades.
Sendo assim, temos 4 possíveis cenários:
[tex3]ABCP[/tex3], que resulta em [tex3]MN=36[/tex3]
[tex3]ABPC[/tex3], que resulta em [tex3]MN=45[/tex3]
[tex3]ACPB[/tex3], que resulta em [tex3]MN=20[/tex3]
[tex3]APCB[/tex3], que resulta em impossibilidade, pois [tex3]P[/tex3] seria igual a [tex3]A[/tex3] , mas deve ser [tex3]AP=80[/tex3] .
Grande abraço,
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16
08:40
Re: Soma dos pontos médios.
BACP
BAPC
PABC
PBAC
E essas possibilidades?
BAPC
PABC
PBAC
E essas possibilidades?
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
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09:02
Re: Soma dos pontos médios.
Dessa maneira que coloquei os pontos a [tex3]med(\overline{PC})[/tex3]
está ficando negativa, ou o [tex3]\overline{BA}[/tex3]
que é maior que [tex3]\overline{BC}[/tex3]
pelos dados do enunciado fica literalmente contido e menor [tex3]\overline{BC}[/tex3]
esse exercício está complicado de definir um padrão. Por que isso que eu disse aconteceu?A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
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16
09:08
Re: Soma dos pontos médios.
Olá MafIl10,
Essas hipóteses que você lançou não dão certo pois não respeitam as condições do enunciado. Veja só:
BACP, BAPC e PBAC : Estas não funcionam pois AB=5PC e BC=4PC, ou seja, AB tem que ser maior que BC, o que não acontece nessa hipótese.
PABC : Esta hipótese não funciona pois AB tem que ser 5x maior que PC, ou seja, AB tem que ser maior que PC, o que não acontece nessa hipótese.
Grande abraço,
Prof. Caju
Essas hipóteses que você lançou não dão certo pois não respeitam as condições do enunciado. Veja só:
BACP, BAPC e PBAC : Estas não funcionam pois AB=5PC e BC=4PC, ou seja, AB tem que ser maior que BC, o que não acontece nessa hipótese.
PABC : Esta hipótese não funciona pois AB tem que ser 5x maior que PC, ou seja, AB tem que ser maior que PC, o que não acontece nessa hipótese.
Grande abraço,
Prof. Caju
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