Ensino Médio

Qual o valor do determinante da matriz [tex3]\left(\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array}\right)[/tex3] ,sendo 2a=[tex3]e^{x} + e^{-x}[/tex3] e 2b=[tex3]e^{x} - e^{-x}[/tex3]

$D=a\cdot a-b\cdot b$
$D=a^2-b^2$
$D=(a+b)(a-b)$
$D=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}+\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\cdot \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}-\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)$
$D=\left(\frac{e^x+e^x+\cancel{e^{-x}-e^{-x}}}{2}\right)\cdot \left(\frac{\cancel{e^x-e^x}+e^{-x}+e^{-x}}{2}\right)$
$D=\left(\frac{2e^x}{2}\right)\cdot \left(\frac{2e^{-x}}{2}\right)$
$D=e^x\cdot e^{-x}$
$D=e^0$
$\boxed{D=1}$

[tex3]\det\left(\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array}\right)=a^2-b^2[/tex3]

[tex3]2a=e^x+e^{-x}\right a=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=cosh(x)[/tex3]
[tex3]2b=e^x-e^{-x}\right b=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=senh(x)[/tex3]

[tex3]a^2-b^2=cosh^2(x)-senh^2(x)=1[/tex3]

Lembrando que senh(x) e cosh(x) são, respectivamente, as funções de seno e cosseno hiperbólicas e que a seguinte identidade é sempre válida:

[tex3]cosh^2(x)-senh^2(x)=1[/tex3]

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