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Cássio
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Séries

Mensagem não lida por Cássio »

Eu estava lendo sobre séries convergentes e numa parte sobre comutatividade, pelo que entendi, foi dito que uma série pode convergir para valores diferentes apenas mudando a ordem das parcelas. Se for verdade, é muito contra-intuitivo!

Alguém sabe algo sobre isso?



"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
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kluis37
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Re: Séries

Mensagem não lida por kluis37 »

Muito cuidado!.

Existe o conceito de convergência absoluta. Se uma série converge absolutamente, então ela converge para um único valor!. No entanto, séries que não convergem absolutamente, podem convergir para qualquer número real que você desejar! haha. Tem um exemplo no livro do Spivak de cálculo.

Olha, eu vi cálculo a muito tempo, nem lembro direito, mas acredito que minha resposta ajude (espero que não tenha falado besteira haha).




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poti
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Re: Séries

Mensagem não lida por poti »

Se a soma é infinita e converge condicionalmente (não converge em módulo), você a faz convergir para o que quiser com um rearranjo de termos conveniente. Fixe um real [tex3]k[/tex3] e some todas parcelas possíveis até que a soma do último escolhido ultrapasse [tex3]k[/tex3] ; após isso, subtraia os termos negativos até que o último faça sua soma ficar abaixo de [tex3]k[/tex3] ; como o processo é infinito, você sempre vai ter um número finito de termos pra somar ou subtrair até que chegue ao entorno de [tex3]k[/tex3] . Não é magnífico ? Sei que minha explicação não é formal, mas a demonstração usa esse raciocínio.

Exemplo:

[tex3]ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...[/tex3] (Expansão de Taylor)

[tex3]\boxed{x = 1}[/tex3]

[tex3]ln2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - ...[/tex3]

Podemos desmembrar em uma diferença [tex3]S_2 - S_1[/tex3] :

[tex3]S_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ...[/tex3]
[tex3]S_2 = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ...[/tex3]

Mas:

[tex3]2S_2 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... = S_1 + S_2[/tex3]

[tex3]2S_2 = S_1 + S_2[/tex3]

[tex3]S_1 = S_2[/tex3]

[tex3]\boxed{S_2 - S_1 = 0}[/tex3]

Mas [tex3]S_2 - S_1 = ln2[/tex3] , certo ? Oh shit...

:D

Recomendo dar uma olhada nesse teorema: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem
Última edição: caju (Qua 06 Nov, 2019 19:25). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


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poti
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Re: Séries

Mensagem não lida por poti »

Só revivendo o tópico, pois achei um erro tosco ali depois do "Mas:" ...

Correção:

[tex3]2\boxed{S_1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... = S_1 + S_2[/tex3]

[tex3]2\boxed{S_1} = S_1 + S_2[/tex3]

[tex3]S_1 = S_2[/tex3]

[tex3]S_2 - S_1 = 0[/tex3]

:wink:
Última edição: caju (Qua 06 Nov, 2019 19:25). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


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Auto Excluído (ID:12031)
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Mai 2014 28 04:00

Re: Séries

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

não esqueça que o que chamamos de soma infinita é um limite de uma sequência de somas parciais. Séries que não convergem absolutamente podem convergir para qualquer valor. Quer prova?
(A seguinte prova foi tirada do livro CALCULUS de Tom M. Apostol - ótimo livro pro primeiro ano de ensino superior)

Definição. Deixe N = {1,2,3,...} denotar o conjunto de inteiros positivos. Deixe f:N[tex3]\rightarrow[/tex3] N ser uma função cuja imagem também é N e assuma que f é injetora, ou seja:

[tex3]m\neq n \rightarrow f(m)\neq f(n)[/tex3]

Tal função é chamada uma permutação de N. Se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] e [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] são duas séries tais que para todo [tex3]n\geq 1[/tex3] tivermos

[tex3]b_n=a_{f(n)}[/tex3]

para alguma permutação f, então a série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] é dita um rearranjo de [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] .

Teorema: Se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] é uma série absolutamente convergente de soma [tex3]S[/tex3] . Então todo rearranjo de [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] também converge absolutamente e tem soma [tex3]S[/tex3] .

Prova: Deixe [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] ser um rearranjo de [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] diga: [tex3]b_n=a_{f(n)}[/tex3] . Primeiramente vale notar que que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] converge absolutamente pois [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }|b_n|[/tex3] é uma série de termos não negativos cujas somas parciais são limitadas superiormente pela soma [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }|a_n|=S[/tex3] (pode-se mostrar que quando a série dos módulos converge a série original também converge).

Para provar que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] também tem soma [tex3]S[/tex3] , nós introduzimos:

[tex3]B_n =\sum_{k=1}^{n }b_k[/tex3] ;
[tex3]A_n = \sum_{k=1}^{n }a_k[/tex3]
[tex3]A'_n = \sum_{k=1}^{n }|a_k|[/tex3] e
[tex3]S'= \sum_{k=1}^{\infty }|a_k|[/tex3]

Por hipótese [tex3]A_n \rightarrow S[/tex3] e [tex3]A'_n \rightarrow S'[/tex3] quando [tex3]n\rightarrow \infty[/tex3] . Logo dado um [tex3]\epsilon>0[/tex3] ,existe um N tal que:

[tex3]|A_N-S|<\epsilon/2[/tex3] e [tex3]|A'_N-S'|<\epsilon/2[/tex3] (basta escolher o maior N para o qual as duas desigualdades são válidas separadamente)

Para este N podemos escolher M tal que:

[tex3]\{1,2,...,N\}\subseteq\{f(1),f(2),...,f(M)\}[/tex3]

isto é possível, pois a imagem de f são todos os inteiros positivos. Se [tex3]n\geq M[/tex3] teremos:

(1)[tex3]|B_n-S|=|B_n-A_N+A_N-S|\leq|B_n-A_N|+|A_N-S|\leq |B_n-A_N|+\epsilon/2[/tex3]

Mas também temos:

[tex3]|B_n-A_N|=|\sum_{k=1}^{n}b_n - \sum_{k=1}^{N}a_k|=|\sum_{k=1}^{n}a_{f(n)} - \sum_{k=1}^{N}a_k|[/tex3]

como [tex3]n\geq M[/tex3] então os termos [tex3]a_1,a_2,...,a_N[/tex3] são cortados e ficamos com uma soma de uma quantidade finita de termos da soma que pode ser majorada pela soma infinita descontando-se os termos cortados:

(2)[tex3]|B_n-A_N|\leq |a_{N+1}| + |a_{N+2}+...=|A'_N-S'|<\epsilon/2[/tex3]

combinando-se (2) com (1) temos que [tex3]|B_n-S|<\epsilon[/tex3] para todo [tex3]n\geq M[/tex3] , como queríamos demonstrar. Por isso a hipótese da série ser absolutamente convergente impede que a simples troca de ordem de seus elementos faça com que a série mude seu valor. O que ocorre quando a série não é absolutamente convergente é que os elementos positivos e os elementos negativos da série divergem.

Definição: [tex3]a^{+}_n=(a_n+|a_n|)/2[/tex3] e [tex3]a^{-}_n=(a_n-|a_n|)/2[/tex3]

Se [tex3]a_n[/tex3] é positivo então [tex3]a^{+}_n=a_n[/tex3] e [tex3]a^{-}_n=0[/tex3] . Se [tex3]a_n[/tex3] for negativo então [tex3]a^{+}_n=0[/tex3] e [tex3]a^{-}_n=a_n[/tex3]

Teorema: Dada uma série [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] de termos reais:
a-) Se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] converge condicionalmente (sua soma converge, porém a soma de seus módulos diverge) então ambas as séries [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{+}_n[/tex3] e [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{-}_n[/tex3] divergem.
b-) Se [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] converge absolutamente então ambas as séries [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{+}_n[/tex3] e [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{-}_n[/tex3] convergem.

Prova: Para provar a parte (a), nós notamos que por hipótese [tex3]\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] converge e que [tex3]\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty }|a_n|[/tex3] diverge. Logo por serem respectivamente soma e diferença dessas séries tanto [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{+}_n[/tex3] quanto [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{-}_n[/tex3] divergem. Analogamente para provar a parte (b) basta ver que por hipótese [tex3]\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] e [tex3]\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty }|a_n|[/tex3] convergem logo tanto [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{+}_n[/tex3] quanto [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{-}_n[/tex3] convergem.

Finalmente:

Teorema: Deixe [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] ser uma série condicionalmente convergente de termos reais e deixe S ser um número real dado. Então existe um rearranjo [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] de [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] o qual converge para a soma S.

Prova: Como visto ambas as séries [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{+}_n[/tex3] e [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{-}_n[/tex3] divergem já que [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] é condicionalmente convergente. Nós rearranjaremos [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a_n[/tex3] da seguinte maneira:
Tomemos, em ordem numérica crescente, a quantidade mínima necessária de termos positivos [tex3]a^{+}_n[/tex3] tal que a soma deles exceda S. Isto é possível pois a série de termos positivos [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }a^{+}_n[/tex3] diverge para +[tex3]\infty[/tex3] . Se são requiridos [tex3]p_1[/tex3] termos positivos teremos:

[tex3]\sum_{n=1}^{p_1 }a^{+}_n>S[/tex3] mas [tex3]\sum_{n=1}^{q }a^{+}_n\leq S[/tex3] se [tex3]q<p_1[/tex3]

Para esta soma nós adicionamos a quantidade mínima suficiente,diga [tex3]n_1[/tex3] , de termos negativos [tex3]a^{-}_n[/tex3] para que a soma obtida fique menor que [tex3]S[/tex3] , analogamente a divergência da série de termos negativos garante que isso é possível.

[tex3]\sum_{n=1}^{p_1 }a^{+}_n + \sum_{n=1}^{n_1 }a^{-}_n<S[/tex3] mas [tex3]\sum_{n=1}^{p_1 }a^{+}_n + \sum_{n=1}^{m }a^{-}_n\geq S[/tex3] se [tex3]m<n_1[/tex3]

Agora repita o processo adicionando a quantidade mínima o suficiente de termos positivos para a soma ultrapassar [tex3]S[/tex3] e depois adicionando o mínimo possível de termos negativos para que a soma fique menor que [tex3]S[/tex3] Desta forma obtemos um rearranjo [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] . Observe que cada soma parcial que contruimos de [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] difere de [tex3]S[/tex3] por no máximo um elemento [tex3]a^{+}_n[/tex3] ou [tex3]a^{n}_n[/tex3] . Porém [tex3]a_n\rightarrow 0[/tex3] quando [tex3]n\rightarrow \infty[/tex3] pois sua série converge, então as somas parciais de [tex3]\sum_{n=1}^{\infty }b_n[/tex3] convergem para [tex3]S[/tex3] .

É isso ai, espero ter tirado a dúvida de qualquer um do fórum de como é possível que uma série convirja pra qualquer número e porque as séries que convergem absolutamente não possuem esse problema. Uma braço kkkkkk o/

Última edição: caju (Qua 06 Nov, 2019 19:59). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



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