Ensino Médio ⇒ Matemática - Produtos Notáveis

[Almondega18]

O resultado da operação [tex3]\frac{x^{6} - y^{6}}{x^{2} + xy + y^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{6} - y^{6}}{x^{2} + xy + y^{2}}[/tex3]

para x = 5 e y = 3 é igual a :

304


Com chegar a esse resultado ?

[jrneliodias]

Olá, Almondega18.

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[tex3]\frac{x^{6} - y^{6}}{x^{2} + xy + y^{2}}\,=\,\left(\frac{x-y}{x-y}\right)\frac{\left(x^{3}\right)^2 - \left(y^{3}\right)^2}{x^{2} + xy + y^{2}}\,=\,\frac{(x-y)(x^3+y^3)(x^3-y^3)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\,=\,\frac{(x-y)(x^3+y^3)(x^3-y^3)}{(x^3-y^3)}[/tex3]

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[tex3]=(x-y)(x^3+y^3)=(5-3)(125+27)=\boxed{304}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[Almondega18]

Olá, Almondega18.

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[tex3]\frac{x^{6} - y^{6}}{x^{2} + xy + y^{2}}\,=\,\left(\frac{x-y}{x-y}\right)\frac{\left(x^{3}\right)^2 - \left(y^{3}\right)^2}{x^{2} + xy + y^{2}}\,=\,\frac{(x-y)(x^3+y^3)(x^3-y^3)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\,=\,\frac{(x-y)(x^3+y^3)(x^3-y^3)}{(x^3-y^3)}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]=(x-y)(x^3+y^3)=(5-3)(125+27)=\boxed{304}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

Por que [tex3]\left(\frac{x-y}{x-y}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{x-y}{x-y}\right)[/tex3]

, não entendi por que se multiplica por isso *--*

[jrneliodias]

Olá. Vem da seguinte propriedade.

Em uma expressão, equação ou inequação, podemos adicionar termos "obvios" e convenientes desde que não se altere o resultado.

Por exemplo, em uma subtração ou em uma adição, podemos fazer assim:

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[tex3]x=y\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,x+z-z=y\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,(x+z)=(y+z)[/tex3]

Veja que eu introduzi

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[tex3]z[/tex3]

e o retirei ao mesmo tempo, ou seja, não alterou o resultado final, mas pude criar uma expressão equivalente.

Veja outros exemplos:
Na multiplicação :

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[tex3]a=b\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,k\cdot a=k\cdot b[/tex3]

No quociente:

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[tex3]\frac{m}{n}=\frac{k}{k}\cdot \frac{m}{n}[/tex3]

A mesma propriedade da racionalização.

Então na questão, convenientemente, colocoquei

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[tex3]\left(\frac{x-y}{x-y}\right)[/tex3]

. Pois não altera o valor da expressão.
E

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[tex3](x-y)(x^2+xy+y^2)\,=\,x^3-y^3[/tex3]

Tudo bem? Abraço.