Olimpíadas ⇒ Potências e Divisibilidade
Moderador: [ Moderadores TTB ]
- rean
- Mensagens: 644
- Registrado em: 26 Mar 2007, 10:31
- Última visita: 27-10-22
- Localização: Recife
- Agradeceu: 19 vezes
- Contato:
Dez 2007
30
09:53
Potências e Divisibilidade
Determinar três inteiros consecutivos tais que o primeiro seja divisível por um quadrado, o segundo por um cubo e o terceiro por uma quarta potência.
No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean
Rean
Dez 2022
17
13:05
Re: Potências e Divisibilidade
o teorema chines dos restos garante a existencia de tal número
vamos usar uma ideia semelhante da demonstração do teorema para resolver esse caso especifico
o quadrado vai ser [tex3]5^2[/tex3] o cubo vai ser [tex3]3^3[/tex3] e a quarta potencia vai ser [tex3]2^4[/tex3] note que 2, 3 e 5 são primos entre si 2 a 2.
[tex3]n = 25k[/tex3]
[tex3]25k + 1\equiv 0 \pmod {3^3}[/tex3]
vamos encontrar o inverso de 25 mod 27
[tex3]27 = 25 + 2\\
25 =2\cdot 12 + 1[/tex3]
[tex3]1 = 25-2\cdot12 = 25 - (27-25)\cdot12\\
1 = 25\cdot13 -12\cdot27[/tex3]
ou seja [tex3]25\cdot13\equiv 1 \pmod {27}[/tex3]
[tex3]25k\equiv -1\pmod {27}\\
k\equiv-13 \equiv 14\pmod {27}[/tex3]
então k é da forma [tex3]27a + 14[/tex3]
agora finalmente, vamos encontrar
[tex3]25k+2\equiv 0\pmod {16}\\
9(11a+14) + 2 \equiv 0\pmod {16}[/tex3]
obs: aqui já reduzi alguns números mod 16
[tex3]99a + 14\cdot 9 + 2 \equiv 0 \pmod {16}\\
3a\equiv 0 \pmod {16}[/tex3]
ai agora basta tomar a = 16b
então [tex3]n = 25(27\cdot16b+14)[/tex3] funciona
claramente é divisivel por 5^2
[tex3]25\cdot14 + 1 = 13\cdot27[/tex3]
e finalmente [tex3]25\cdot14 + 2 = 16\cdot22[/tex3]
vamos usar uma ideia semelhante da demonstração do teorema para resolver esse caso especifico
o quadrado vai ser [tex3]5^2[/tex3] o cubo vai ser [tex3]3^3[/tex3] e a quarta potencia vai ser [tex3]2^4[/tex3] note que 2, 3 e 5 são primos entre si 2 a 2.
[tex3]n = 25k[/tex3]
[tex3]25k + 1\equiv 0 \pmod {3^3}[/tex3]
vamos encontrar o inverso de 25 mod 27
[tex3]27 = 25 + 2\\
25 =2\cdot 12 + 1[/tex3]
[tex3]1 = 25-2\cdot12 = 25 - (27-25)\cdot12\\
1 = 25\cdot13 -12\cdot27[/tex3]
ou seja [tex3]25\cdot13\equiv 1 \pmod {27}[/tex3]
[tex3]25k\equiv -1\pmod {27}\\
k\equiv-13 \equiv 14\pmod {27}[/tex3]
então k é da forma [tex3]27a + 14[/tex3]
agora finalmente, vamos encontrar
[tex3]25k+2\equiv 0\pmod {16}\\
9(11a+14) + 2 \equiv 0\pmod {16}[/tex3]
obs: aqui já reduzi alguns números mod 16
[tex3]99a + 14\cdot 9 + 2 \equiv 0 \pmod {16}\\
3a\equiv 0 \pmod {16}[/tex3]
ai agora basta tomar a = 16b
então [tex3]n = 25(27\cdot16b+14)[/tex3] funciona
claramente é divisivel por 5^2
[tex3]25\cdot14 + 1 = 13\cdot27[/tex3]
e finalmente [tex3]25\cdot14 + 2 = 16\cdot22[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 590 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 614 Exibições
-
Última mensagem por Vinisth
-
- 1 Respostas
- 872 Exibições
-
Última mensagem por csmarcelo
-
- 1 Respostas
- 1077 Exibições
-
Última mensagem por Andre13000
-
- 1 Respostas
- 990 Exibições
-
Última mensagem por Andre13000