Pré-Vestibular(PUC-2008) Altura Máxima Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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patysales001
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(PUC-2008) Altura Máxima

Mensagem não lida por patysales001 »

A força exercida contra o chão pela ponta da perna de um inseto saltador é transmitida para o chão através da articulação dos pés posteriores. As pernas longas aumentam o tempo durante o qual a força pode agir e assim contribuirem
para a aceleração adquirida, mas quanto mais alto o salto, menos tempo as pernas empurram o chão.
Um gafanhoto ao saltar de um ponto R a um ponto S, em um chão plano, tem como trajetória uma parábola de equação
[tex3]y=\frac{-4x^2}{125}+\frac{8x}{5}[/tex3] , com [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] medidos em centímetros. A altura máxima atingida por ele, em centímetros, é:

A) 10
B) 15
C) 20
D) 25

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jhonim
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Re: Altura Máxima

Mensagem não lida por jhonim »

Derivando a função, obteremos: [tex3]f'(x)=\frac{-8x}{125}+\frac{8}{5}[/tex3] . Como a função é de segundo grau e também é decrescente, ela terá apenas um ponto máximo, determinado quando [tex3]f'(x)=0[/tex3] , ou seja, quando [tex3]x=25[/tex3] .

Abraços.

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theblackmamba
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Re: Altura Máxima

Mensagem não lida por theblackmamba »

Olá,

A altura máxima é a abcissa do vértice da equação [tex3]ax^2+bx+c=0[/tex3] , onde [tex3]a=\frac{-4}{125}[/tex3] ,
[tex3]b=\frac{8}{5}[/tex3] e [tex3]c=0[/tex3] .

[tex3]X_v=\frac{-b}{2a}[/tex3]
[tex3]X_v=\frac{-\frac{8}{5}}{\frac{-8}{125}}=\frac{125}{5}[/tex3]
[tex3]X_v=25\,\text{cm}[/tex3]
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jhonim
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Re: Altura Máxima

Mensagem não lida por jhonim »

Me desculpe pelo raciocínio acima, achei que estávamos nos tópicos de ensino superior. Foi mal.

Bom, é simples. Para encontrar a altura máxima, basta descobrir qual o vértice da parábola. A fórmula para encontrar as coordenadas do vértice de uma parábola é a seguinte:

[tex3]V=\left(\frac{-b}{2\,a}\,;\,\frac{-\Delta}{4\,a}\right)[/tex3]

Analisando a fórmula do problema, percebemos que [tex3]a=\frac{-4}{125}\,,\,b=\frac{8}{5}\,,\, \,\Delta=0[/tex3] . Logo:

[tex3]V=(\,25\,;0\,)[/tex3]

Quando o [tex3]x=25[/tex3] a parábola alcançará seu valor máximo, que no caso seria [tex3]y=0[/tex3] .

Alternativa [tex3]D[/tex3] .

Abraços.
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Diegooo
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Re: (PUC-2008) Altura Máxima

Mensagem não lida por Diegooo »

Olá theblackmamba e Jhonim,

Tem um errinho na solução de vocês!

Como ele pede a altura máxima devemos calcular o [tex3]Y_V[/tex3] e não o [tex3]X_V[/tex3]

Como [tex3]Y_V= \frac{- \Delta}{4a}[/tex3]

[tex3]\Delta = b^2 -4ac[/tex3]

[tex3]\Delta = \frac{64}{25}[/tex3] logo:

[tex3]\boxed{Y_V=20 cm}[/tex3]

Vocês calcularam o alcance máximo!

Espero ter ajudado!
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Diegooo
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Re: (PUC-2008) Altura Máxima

Mensagem não lida por Diegooo »

Estou certo ou errado?



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jhonim
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Re: (PUC-2008) Altura Máxima

Mensagem não lida por jhonim »

Exatamente! Eu deveria ter substituído o valor de x=25 cm na fórmula para encontrar a altura máxima. Meu equívoco.

Abraços.


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patysales001
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Re: (PUC-2008) Altura Máxima

Mensagem não lida por patysales001 »

Diegooo escreveu:Estou certo ou errado?
É isso aí! Você está certíssimo.
Agradeço sua atenção.

Última edição: patysales001 (Seg 08 Out, 2012 16:21). Total de 2 vezes.



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