Olá
estudante9,
Realmente, a resposta do jrneliodias encontrou a soma e o produto das raízes e não concluiu que possui 2 raízes reais distintas.
Vamos pegar a função dada [tex3]f(x)= (x-p)(x-q) + (x-q)(x-r) + (x-r)(x-p)[/tex3]
e substituir o valor de [tex3]x[/tex3]
por [tex3]p[/tex3]
, [tex3]q[/tex3]
e [tex3]r[/tex3]
para descobrir o valor de [tex3]f(x)[/tex3]
para cada um desses valores de [tex3]x[/tex3]
:
1) [tex3]x=p\Rightarrow \boxed{f(p)=(p-q)(p-r)}[/tex3]
Como [tex3]p<q[/tex3]
, temos que [tex3]p-q<0[/tex3]
, ou seja, [tex3]p-q[/tex3]
é
negativo.
Como [tex3]p<r[/tex3]
, temos que [tex3]p-r<0[/tex3]
, ou seja, [tex3]p-r[/tex3]
é
negativo.
Portanto, o produto [tex3]f(p)=(p-q)(p-r)[/tex3]
é o produto de um número
negativo por um
negativo, resultando um número
positivo.
Ou seja, [tex3]\boxed{\boxed{f(p)>0}}[/tex3]
2) [tex3]x=q\Rightarrow \boxed{f(q)=(q-r)(q-p)}[/tex3]
Como [tex3]q<r[/tex3]
, temos que [tex3]q-r<0[/tex3]
, ou seja, [tex3]q-r[/tex3]
é
negativo.
Como [tex3]p<q[/tex3]
, temos que [tex3]q-p>0[/tex3]
, ou seja, [tex3]q-p[/tex3]
é
positivo.
Portanto, o produto [tex3]f(q)=(q-r)(q-p)[/tex3]
é o produto de um número
negativo por um
positivo, resultando um número
negativo.
Ou seja, [tex3]\boxed{\boxed{f(q)<0}}[/tex3]
3) [tex3]x=r\Rightarrow \boxed{f(r)=(r-p)(r-q)}[/tex3]
Como [tex3]p<r[/tex3]
, temos que [tex3]r-p>0[/tex3]
, ou seja, [tex3]r-p[/tex3]
é
positivo.
Como [tex3]q<r[/tex3]
, temos que [tex3]r-q>0[/tex3]
, ou seja, [tex3]r-q[/tex3]
é
positivo.
Portanto, o produto [tex3]f(r)=(r-p)(r-q)[/tex3]
é o produto de um número
positivo por um
positivo, resultando um número
positivo.
Ou seja, [tex3]\boxed{\boxed{f(r)>0}}[/tex3]
Com esses três raciocínios, podemos concluir que a parábola é mais ou menos assim:
- bolzano.png (5.64 KiB) Exibido 687 vezes
Quando [tex3]x=p[/tex3]
a parábola terá um valor
positivo, depois quando [tex3]x=q[/tex3]
tem que ter um valor
negativo.
Essa troca de sinal garante que, entre [tex3]p[/tex3]
e [tex3]q[/tex3]
, terá uma raiz, pois a parábola é obrigada a cortar o eixo [tex3]x[/tex3]
entre [tex3]p[/tex3]
e [tex3]q[/tex3]
. Essa é a
primeira raiz real de [tex3]f(x)[/tex3]
.
E quando o [tex3]x[/tex3]
varia de [tex3]q[/tex3]
até [tex3]r[/tex3]
, a parábola também será obrigada a cortar o eixo [tex3]x[/tex3]
. Essa será a
segunda raiz real de [tex3]f(x)[/tex3]
, que é distinta da primeira.
Esse raciocínio nada mais é do que o
Teorema de Bolzano, que poderíamos escrever, mais sucintamente, da seguinte forma:
[tex3](p < q) \wedge (f(p)\cdot f(q)<0)\rightarrow \exists x_1\in(p, q)\,|\,f(x_1)=0[/tex3]
[tex3](q < r) \wedge (f(q)\cdot f(r)<0)\rightarrow \exists x_2\in(q, r)\,|\,f(x_2)=0[/tex3]
E isso bate com o seu gabarito, pois a raiz [tex3]x_1[/tex3]
está entre [tex3]p[/tex3]
e [tex3]q[/tex3]
e a raiz [tex3]x_2[/tex3]
está entre [tex3]q[/tex3]
e [tex3]r[/tex3]
, ou seja, [tex3]p<x_1<q<x_2<r[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju